Demostrar que la base de $M$ tal que no contenga ningún elemento de $L$ existe, si $L \subset M$

Question

Dejemos que $M$ sea un espacio vectorial de dimensión finita y sea $L$ sea un subespacio propio de $M$ (así $L \ne M$ ). Demostrar que existe una base de $M$ tal que no contenga ningún elemento de $L$ .

Ni siquiera estoy seguro de cómo empezar con esto. ¿Cómo es posible si $L$ es un subespacio de $M$ ?

Answer 1

Sugerencia: Deja que $\{x_1,\dots,x_k\}$ sea una base de $L$ ; extiéndelo a una base $\{x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_n\}$ de $M$ .

Ahora defina, para $i=1,\dots,k$ , $y_i=x_i+x_{k+1}$ y considerar $$ \{y_1,\dots,y_k,x_{k+1},\dots,x_n\} $$

Answer 2

Les presento otro ejemplo. Considere la línea $L$ para ser el subespacio generado por el elemento $(1,1,0)$ Ahora bien, observe que si $M$ es el plano generado por $(1,0,0)$ y $(0,1,0)$ , $M$ contiene esta línea, pero $L$ y $M$ no son iguales.

Podemos ampliar nuestra línea original simplemente añadiendo $(0,1,0)$ y obtener $\{(1,1,0),(0,1,0)\}$ Esto es una base para $M$ pero ahora contiene un elemento de $L$ ¡Uy! Podemos cambiar esta base por el método descrito por egreg y obtener $\{(1,2,0), (0,1,0)\}$ Obsérvese que esta base no contiene ningún elemento de $L$ pero genera $M$ .