Pregunta sobre el teorema espectral.

Question

Si $A:D(A)\subseteq H\to H$ es un operador autoadjunto densamente definido, podemos dar sentido al grupo unitario $e^{itA}$ con el cálculo funcional de Borel.

1. Me cuesta mucho entender por qué $e^{itA}$ propaga elementos de $D(A)$ de nuevo en $D(A)$ . Es decir, si $x\in D(A)$ por qué debe $e^{itA}x\in D(A)$ ?

Puedo razonar desde la teoría abstracta de semigrupos que $D(A)=\{x: \lim_{t\to 0}t^{-1}(e^{itA}x-x)\text{ exists}\}$ que debe incluir $e^{isA}$ por cada $s>0$ . Esperaba algo más directo (directamente del teorema espectral).

Answer 1

Si $A=\int_{\sigma}\lambda dE(\lambda)$ , donde $E$ es la resolución espectral de la identidad para el operador lineal autoadjunto densamente definido $A : \mathcal{D}(A)\subseteq H\rightarrow H$ entonces $$ x \in \mathcal{D}(A) \iff \int \lambda^{2}d\|E(\lambda)x\|^{2} < \infty. $$ Esta es una caracterización útil del dominio de $A$ que a menudo se pasa por alto.

Ejemplo 1: $f\in L^{2}[0,2\pi]$ es periódica y absolutamente continua en $[0,2\pi]$ con $f' \in L^{2}[0,2\pi]$ si $$ \sum_{n=\infty}^{\infty}n^{2}\left|\int_{0}^{2\pi}f(t)e^{-int}\,dt\right|^{2} < \infty. $$ Ejemplo 2: $f \in L^{2}(\mathbb{R})$ es absolutamente continua en $\mathbb{R}$ con $f' \in L^{2}(\mathbb{R})$ si $$ \int_{-\infty}^{\infty}\lambda^{2}|\hat{f}(\lambda)|^{2}\,d\lambda < \infty, $$ donde $\hat{f}$ es la transformada de Fourier de $f$ .

En tu caso: Si $f$ es una función acotada de Borel, entonces $f(A)x \in \mathcal{D}(A)$ siempre que $x \in \mathcal{D}(A)$ porque $$ \int \lambda^{2}d\|E(\lambda)f(A)x\|^{2}=\int \lambda^{2}|f(\lambda)|^{2}d\|E(\lambda)x\|^{2} < \infty. $$ Además, en este caso, $$ Af(A)x = \int \lambda f(\lambda)dE(\lambda)x. $$ Su caso es aún más bonito porque $f_{t}(\lambda)=e^{it\lambda}$ es unimodular en el espectro.