Sé que $ze^{2i\pi/3}$ es una rotación de $\Sigma$ por un ángulo $2\pi/3$ alrededor del eje vertical a través de $0$ y $\infty$ y también que una función de Moebius está determinada por tres puntos. ¿Estos dos hechos son útiles?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Michael Hardy
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$$ \begin{array}{cc|cc} z \mapsto ze^{2\pi i/3} & & & z \mapsto \dfrac 1 {1-z} \\[10pt] \hline \begin{array}{ccccc} 1 & & \longrightarrow & & e^{2\pi i/3} \\ & \nwarrow & & \swarrow \\ & & e^{4\pi i/3} \end{array} & \quad & \quad & \begin{array}{ccccc} 0 & & \longrightarrow & & 1 \\ & \nwarrow & & \swarrow \\ & & \infty\end{array} \\[4pt] {} \end{array} $$ Digamos que empiezas con $1,\,\,e^{2\pi i/3},\,\, e^{4\pi i/3}$ respectivamente. A continuación, se introducen en $M^{-1}$ obteniendo $0,\,\,1,\,\,\infty$ respectivamente. Luego se aplica $T,$ transformándolos en $1,\,\,\infty,\,\,0$ respectivamente. A continuación, empujarlos a través de $M,$ obteniendo $e^{2\pi i/3},\,\, e^{4\pi i/3},\,\, 1$ respectivamente.
Así que quieres $M^{-1}(1)=0,$ $M^{-1}(e^{2\pi i/3}) = 1,$ $M^{-1}(e^{4\pi i/3})=\infty.$
Para conseguir $M^{-1}(1)=0,$ necesitas $M^{-1}(z) = \dfrac{\cdots(z-1)}{\cdots}.$
Entonces para conseguir $M^{-1}(\infty)= e^{4\pi i/3}$ necesitas $M^{-1}(z) = \dfrac{e^{4\pi i/3}(z-1)}{z - \cdots}.$
Entonces para conseguir $M^{-1}(e^{2\pi i/3}) = 1,$ poner $e^{2\pi i/3}$ en lugar de $z$ en esa última expresión y la hacemos igual a $1$ y ver lo que hay que poner en lugar de $\text{“} \cdots \text{”}$ para obtener ese resultado.
