Tengo un ejercicio de teoría de la probabilidad, que no puedo resolver:
Hay 3 fábricas A B C, que producen 3 tipos de bombillas. La fábrica A / B / C fabrica el 40 / 20 / 40 por ciento de las bombillas enteras. La probabilidad de fabricar el primer tipo de bombilla en la fábrica A / B / C es de 0,6 / 0,3 / 0,5. La probabilidad de fabricar el segundo tipo de bombilla en la fábrica A/ B / C es de 0,3/0,4/0,2. La probabilidad de fabricar el tercer tipo de bombilla en la fábrica A / B / C es de 0,1/0,3/0,3.
Compramos 6 bombillas. ¿Cuál es el conjunto más probable de bombillas (número de cada tipo)? ¿Cuál es su probabilidad?
Así que he averiguado que es una distribución multinomial con parámetros 6 y probabilidades $p_1=0.5$ , $p_2=0,22$ , $p_3=0.28$ , donde $p_i$ es la probabilidad de comprar una bombilla de $i-th$ tipo.
Dejemos que $X_i$ denotan un número de bombillas de $i-th$ teclear en el juego de 6 bombillas que compramos. Para resolver el primer problema queremos maximizar $P(X_1=k_1, X_2=k_2, X_3=k_3) = \frac{6!}{k_1!\cdot k_2! \cdot k_3!}0.5^{k_1} \cdot 0.22^{k_2} \cdot 0.28^{k_3}$
Así que podemos escribir una función $f(x,y,z)=\frac{6!}{x!\cdot y! \cdot z!} 0.5^{x}\cdot 0.22^{y}\cdot 0.28^{z}$ . Como la suma de todas las variables debe ser 6, podemos reducir una variable. Entonces queremos maximizar la función $g(x,y)=\frac{6!}{x!\cdot y!\cdot (6-x-y)!}0.5^{x}\cdot 0.22^{y}\cdot 0.28^{6-x-y}$ . No sé cómo hacerlo por los factoriales. Y también $k_i$ son números naturales, así que dudo que este enfoque sea bueno. Creo que se puede examinar esta fórmula con secuencias, pero hay mucho trabajo que hacer entonces. Creo que debería haber un teorema, que no conozco, que ayudaría, porque era para un examen sobre unos estudios no matemáticos (de economía) y tienen una pequeña cantidad de clases de matemáticas allí.
