Función Belyi: el grado del polo es el grado de la cara - ¿por qué?

Question

Una función Belyi es una cubierta ramificada $\beta : X \rightarrow \mathbb{P}^1\mathbb{C} $ sin clasificar en el exterior $\{ 0,1,\infty\}$ .

Ahora si coloreo el vértice 0 negro, 1 blanco y miro la preimagen $\beta^{-1}([0,1])$ Entiendo que obtenemos un grafo bipartito conexo y la valencia de los vértices blancos y negros en la preimagen son las multiplicidades de los puntos críticos, como en una vecindad de 0 y 1, $\beta$ parece $z \mapsto z^k$ .

Lo que no veo, sin embargo, es por qué el El grado de un polo es igual al número de aristas que inciden en una cara .

¿Puede alguien ayudarme con el porqué de esto? Gracias.

Answer 1

Dibujar un triángulo $T$ en la esfera de Riemann, con vértices $0$ , $1$ y $\infty$ y colorear los bordes de rojo, azul y verde digamos. Ahora mira la imagen inversa $T'$ de $T$ . Se trata de una triangulación de $X$ y coloreamos sus bordes según su imagen en $T$ . Deje que el $0$ - $1$ borde sea rojo. En un polo de $\beta$ , $k$ azul y $k$ surgen los bordes verdes, donde $k$ es el orden del polo. Así que $2k$ triángulos de $T$ se encuentran en ese punto, y se combinan para formar una cara de $\beta^{-1}(T)$ con $2k$ bordes. (Las caras de $\beta^{-1}(T)$ tienen un número par de aristas ya que es un gráfico bipartito).