Unicidad del objeto inicial, o ¿por qué un morfismo de un objeto a sí mismo debe ser la identidad?

Question

La definición de un objeto inicial en una categoría $\mathscr{C}$ se define como un objeto que sólo tiene un mapa que va a cada objeto en $\mathscr{C}$ . Un resultado básico dice supuestamente que dos objetos iniciales cualesquiera en $\mathscr{C}$ son isomorfismo.

La prueba de esto, me imagino, va algo así como, dejemos $A,B\in\mathscr{C}$ entonces tenemos un mapa único $f_{AB}:A\to B$ y $f_{BA}:B\to A$ ya que hay $f_{AA}:A\to A$ y $f_{BB}:B\to B$ son únicos, obtenemos que $f_{AB}\circ f_{BA}=f_{AA}$ y $f_{BA}\circ f_{AB}=f_{BB}$ . Si $f_{AA}=\operatorname{Id}_A$ y $f_{BB}=\operatorname{Id}_B$ entonces habríamos terminado, muy bien.

Sin embargo, no veo por qué debería ser así. Después de todo, la unicidad de $f_{AA}$ y $f_{BB}$ sólo dice que deben ser idempotentes, es decir. $f_{AA}\circ f_{AA}=f_{AA}$ y de forma similar para $f_{BB}$ . Obviamente, el mapa de identidad satisface la idempotencia, pero también lo hacen muchos otros mapas, por ejemplo un mapa constante (por supuesto, para los objetos con estructura, por ejemplo, un grupo o un anillo, sólo hay un mapa constante). Así que, al menos en mi cabeza, puedo imaginar fácilmente una categoría en la que esto sea así.

Por favor, explique por qué estoy equivocado.

Answer 1

Como la flecha de identidad siempre existe desde la definición de una categoría, el morfismo de un objeto inicial a sí mismo debe ser la identidad.

Answer 2

Dejemos que $I$ sea un objeto inicial en una categoría $\mathscr C$ . Entonces, para cada $\mathscr C$ -objeto $X$ existe un morfismo único $I\xrightarrow{f_X}X$ . En particular, existe un morfismo único $I\xrightarrow{f_I}I$ . Pero $\mathscr C$ tiene identidades por definición, por lo que $I\xrightarrow{\DeclareMathOperator{id}{id}\id_I}I$ es otro morfismo en $\mathscr C$ . De ello se desprende que $f_I=\id_I$ por la singularidad de $f_I$ .