¿Existe una conjetura que sugiera que si alguna otra conjetura es verdadera para todos $x<n$ entonces es cierto para todos $x$ ?

Question

Así que todo el mundo aquí probablemente sabe que si las pruebas numéricas apoyan una conjetura, esa conjetura no es necesariamente cierta para números más grandes. De hecho, ha habido muchas veces en las que se ha demostrado que una conjetura es errónea por medio de grandes contraejemplos. Pero ¿hay alguna conjetura que sugiera que si una conjetura es cierta para todos $x<n$ para algunos $n$ Esa conjetura es válida para todos los valores de $x$ ?

Tenga en cuenta que no estoy buscando una sola conjetura específica que se demuestre que es verdadera para todos $x>n$ para algunos $n$ y sólo tenemos que probarlo para todos $x<n$ como la conjetura débil de Goldbach (sé que se ha demostrado que es cierta para todos los números Impares, pero si no recuerdo mal, alguien demostró que es cierta a partir de un número muy grande, pero no pudimos probar todos los números Impares menores que ese número). Estoy buscando algo que se pueda aplicar a cualquier conjetura (que se pueda probar numéricamente) o algo que al menos se pueda utilizar para una gran variedad de conjeturas.

Gracias de antemano.

Answer 1

No está claro a qué te refieres con "comprobable numéricamente", pero presumiblemente contendría al menos el $\Pi_1$ que son fórmulas (de PA ) que son lógicamente equivalentes a fórmulas de la forma $\forall n.Q(n)$ donde $Q$ es una fórmula que sólo utiliza cuantificadores acotados, es decir $\exists a < m$ o $\forall a < m$ . Tales afirmaciones pueden ser evaluadas computacionalmente para cada instanciación del cuantificador universal más externo. Su conjetura aplicada a $\Pi_1$ fórmulas significaría que cada $\Pi_1$ fórmula es $\Sigma_1$ (que es lo mismo sólo que para cuantificadores existenciales en lugar de cuantificadores universales). Explícitamente, estarías diciendo que $$\forall n.Q(n)\iff\exists N.\forall n < N.Q(n)$$

No sabemos nada de $\Sigma_1$ y $\Pi_1$ incluyen el otro, aunque se superponen en $\Delta_1$ fórmulas. Así que esta conjetura es falsa, y cualquier versión muy genérica parece poco probable.

Sin embargo, tenemos procedimientos de decisión para grandes trozos de matemáticas que a menudo se reducen a probar muchos casos. Un ejemplo con el que ya está familiarizado es la comprobación de la igualdad de polinomios. Dos polinomios con coeficientes en un campo con característica $0$ (por ejemplo $\mathbb Q$ ) son iguales si coinciden en algún conjunto finito de puntos. El libro A=B se adentra en varios procedimientos de decisión más complicados que manejan varias recurrencias y series hipergeométricas que cubren muchas identidades combinatorias.

Answer 2

Lo dudo. Para cada número entero $N$ claramente hay conjeturas que son ciertas hasta $N$ pero falso finalmente. La mayoría de ellos son tontos (como "todo número es menor que $2N$ ") pero existen.

Así que su meta conjetura está pidiendo realmente una descripción de lo que usted espera que sea "una gran variedad de conjeturas" que sólo necesitan ser verificadas en un número finito de casos. Hay conjeturas de este tipo. Por ejemplo, el teorema de los cuatro colores se demostró reduciéndolo a la tarea de comprobar sólo un número finito de casos (y eso se hizo con un programa de ordenador). Pero creo que decidir qué conjeturas pueden verificarse así no es un problema bien planteado.