Tengo el sistema
$x^\prime = x-y-x(x^{2}+y^{2})$
$y^\prime = x+y-y(4x^{2}+y^{2})$ .
Quiero mostrar con coordenadas polares que al final termino con
$r^\prime = r-r^{3}(1+ \frac{3}{4}$ sin $^{2}(2 \theta))$ .
He utilizado las siguientes sustituciones: $x = r$ porque $(\theta)$ , $y=r$ sin $(\theta)$ , $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ y $rr^\prime = xx^\prime + yy^\prime $ .
He hecho varios intentos pero el más reciente es el siguiente: \begin{align} rr^\prime &= xx^\prime + yy^\prime \\ &=x(x-y-x^{3} -xy^{2}) + y(x+y-4x^{2}y^{2}+y^{3}) \\ &=x^{2} -xy + x^{4} + x^{2}y^{2} + yx + y^{2} - 4x^{2}y^{2} + y^{4} \\ &=r^{2} + (x^{4} + y^{4}) - 3x^{2}y^{2} . \end{align}
No estoy seguro de si voy en la dirección correcta. También he observado que $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) $ .
Cualquier ayuda será muy apreciada.