Utilización de las coordenadas polares para resolver un sistema dinámico

Question

Tengo el sistema

$x^\prime = x-y-x(x^{2}+y^{2})$

$y^\prime = x+y-y(4x^{2}+y^{2})$ .

Quiero mostrar con coordenadas polares que al final termino con

$r^\prime = r-r^{3}(1+ \frac{3}{4}$ sin $^{2}(2 \theta))$ .

He utilizado las siguientes sustituciones: $x = r$ porque $(\theta)$ , $y=r$ sin $(\theta)$ , $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ y $rr^\prime = xx^\prime + yy^\prime$ .

He hecho varios intentos pero el más reciente es el siguiente: $$\begin{align} rr^\prime &= xx^\prime + yy^\prime \\ &=x(x-y-x^{3} -xy^{2}) + y(x+y-4x^{2}y^{2}+y^{3}) \\ &=x^{2} -xy + x^{4} + x^{2}y^{2} + yx + y^{2} - 4x^{2}y^{2} + y^{4} \\ &=r^{2} + (x^{4} + y^{4}) - 3x^{2}y^{2} . \end{align}$$

No estoy seguro de si voy en la dirección correcta. También he observado que $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ .

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

En realidad, vas por el buen camino, pero acabas de cometer algunos deslices con tu álgebra.

Deberías tener $$rr'=x(x-y-x^{3} -xy^{2}) + y(x+y-4x^{2}y^{\color{red}{1}}\color{red}{-}y^{3})$$

esto se simplificará a $$x^2+y^2-(x^4+y^4)-5x^2y^2$$ $$=r^2-(r^4-2x^2y^2)-5x^2y^2$$ $$=r^2-r^4-3x^2y^2$$

ahora utilice la fórmula del ángulo doble para $\sin2\theta$ y ya está.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Se nos da

$$\tag 1 x' = x-y-x(x^2+y^2) \\y' = x+y-y(4x^2+y^2)$$

En coordenadas polares

$$\tag 2 x^2+y^2 = r^2\\ x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta$$

Diferenciando

$$\tag 3 2 x x' + 2 y y' = 2 r r' \implies r r' = x x' + y y'$$

Sustituyendo $(1)$ y $(2)$ en $(3)$

$\begin{align}rr' &= x x' + y y'\\ &= r \cos \theta(r \cos \theta-r \sin \theta-r \cos \theta((r \cos \theta)^2+(r \sin \theta)^2)) +r \sin\theta ( r \cos \theta+r \sin \theta-r \sin \theta (4(r \cos \theta)^2+(r \sin \theta)^2))\\ &= \frac{3}{8} r^4 \cos (4 \theta )-\frac{11 r^4}{8}+r^2\end{align}$

Dividiendo por $r$

$$r' = \dfrac{r^3}{8}\left(3\cos (4 \theta )-11\right)+r$$

Para encontrar el ángulo

$$\dfrac{r \sin \theta}{r \cos \theta} = \tan \theta = \dfrac{y}{x}$$

Utilizando la regla del cociente

$$\theta' = \dfrac{x y' - y x'}{r^2} = ...$$

¿Puede continuar?

Deberías terminar con

$$\theta' = r \left(\sin ^2(\theta )+\cos ^2(\theta )-3 r^2 \sin (\theta ) \cos ^3(\theta )\right) = \dfrac{r^3}{8} \left(-6 \sin (2 \theta )-3 \sin (4 \theta )\right) + r$$

Ahora tienes $r'$ y $\theta'$ Por favor, continúe.