$\pi_{1}({\mathbb R}^{2} - {\mathbb Q}^{2})$ es incontable

Question

Pregunta: Mostrar que $\pi_{1}({\mathbb R}^{2} - {\mathbb Q}^{2})$ es incontable.

Motivación: Este es uno de los problemas que he visto en Hatcher y sentí que debe ser capaz de hacer, pero que no pudo llegar.

Lo que puedo Hacer: Hay pruebas de que esto sea ruta de acceso conectado (aunque, no estoy exactamente en el amor con cada una de las pruebas) y este nos dice que podemos vamos a cualquier punto de ser nuestra base de punto. Ahora, vamos a p $$ haber algún punto en ${\mathbb R}^{2} - {\mathbb Q}^{2}$ y vamos a dejar que esta sea nuestra base de punto. Podemos tomar una ruta de acceso de $p$ a $p$ y una segunda de $p$ a $p$, y no es difícil mostrar que si estos caminos son diferentes, entonces hay al menos una racional en el "interior" de la misma. Ya que hay una cantidad no numerable de $p$, esto implicaría una cantidad no numerable de elementos distintos de un grupo fundamental; el problema que estoy teniendo es que muestra que dos bucles como hemos descrito en realidad son diferentes! Por ejemplo, un bucle a partir de $p$ y que pasa por $q$ debe ser diferente de un bucle a partir de $p$ y pasando a través de $p'$ para ninguno de estos puntos de la misma, para, al menos, un incontable número de elementos $q$. ¿Hay alguna construcción que debo utilizar para mostrar estos elementos del grupo fundamental son diferentes?

Answer 1

En caso de que alguien no le gusta los argumentos de uncountability, he aquí una más concreta argumento:

Revisión de una base de punto $(p,p)$ para una arbitraria $p\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}$. Para cualquier $p\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}$, $q\=p$, considerar el bucle de $L_q$ que consta de los siguientes segmentos de línea: $(p,p)\rightarrow(p,q)\rightarrow(p,q)\rightarrow(q,p)\rightarrow(p,p)$

Pretendemos que para cualquier $q_1<q_2$, los bucles de $L_{q_1}$ y $L_{q_2}$ no son homotópica. Para ver esto, escoja una racional $r$ tales que $q_1<r<q_2$. Incrustar $\mathbb{R}^2-\mathbb{Q}^2$ en $\mathbb{R}^2-(r,r)$ (aka, el perforado plano). Claramente, $L_{q_1}\equiv 0$ mientras $L_{q_2}\equiv 1$, por lo que los lazos no son homotópica, como se desee.

Answer 2

Así que ahora que Jacob ha explicado por qué el espacio es el camino conectado acabemos el problema. En su explicación, él señala que hay un incontable número de líneas que circulan a través de $p$ y un incontable número de líneas que circulan a través de $p$ y ya que estamos quitando sólo countably muchos puntos que no todas estas líneas puede alcanzar un punto en $\mathbb{Q}^2$. Así podemos construir un camino desde $p$ $q$ falta $\mathbb{Q}^2$, en realidad, más que una ruta de acceso. Que nos da un bucle, dentro de este bucle será un elemento de $\mathbb{Q}^2$ con sólo mirar las coordenadas de $p$ y $q$. Esto muestra que el bucle no es contráctiles, es decir, es un elemento no trivial de $\pi_1(\mathbb{R}^2-\mathbb{Q}^2)$. Ahora se puede proceder a construir más los lazos que pasa a través de $p$ y $q$ que no son contráctiles o homotópica a la previamente construido bucle de recoger los diferentes segmentos de línea como en el anterior. Ahora se acaba de construir otro camino desde $p$ a $p$ y el aviso de que un elemento de $\mathbb{Q}^2$ es en el interior de cada uno de sus nuevos bucles (debe haber al menos 2 nuevos bucles, trata de dibujar una imagen).

¿Esta ayuda?

Editar:

Aquí está, en mi opinión, una más clara de la construcción de una cantidad no numerable de no homotópica de bucles. Deje que $p \in \mathbb{R}^2-\mathbb{Q}^2$ y $L$ una línea en $\mathbb{R}^2-\mathbb{Q}^2$ no contiene $p$. Según se ha establecido, hay un flujo continuo de líneas que circulan a través de $p$, y una vez que le quite todos los que pasan por un punto en $\mathbb{Q}^2$ todavía tenemos una cantidad no numerable. El resto de líneas, con una posible excepción, se cruzan $L$ en puntos distintos. Nos quedamos con un triángulo para cada par de las distintas líneas restantes que pasa a través de $p$. Hay un punto racional dentro de cada uno de estos triángulos (tal vez esto es algo que no estaba claro, que me haga saber y yo creo que puedo hacer más explícito). No hay manera de mover "homotope" el triángulo pasado uno de los puntos racionales de tal manera que sería homotópica a cualquier triángulo adyacente. Supongamos que dos "loops" creados de esta manera se homotópica, y supongamos, además, que la diferencia está en la segunda línea que pasa a través de p$$, entonces no tendría que ser un homotopy entre dos caminos que rodean a un punto de $\mathbb{Q}^2$, que es imposible.

Si quieres puedo hacer un dibujo en mi tablet y tratar de publicar. (Realmente no saben la manera correcta de ir sobre la publicación de una imagen.)

Answer 3

La manera de conseguir una cantidad no numerable de bucles es similar a la forma de obtener una cantidad no numerable para el Hawaiano Pendientes. Elegir una secuencia de bucles $\alpha_i$ cuyos diámetros enfoque $0$. A continuación, considerar la infinita concatenaciones $\alpha_1^{\epsilon_1}*\alpha_2^{\epsilon_2}\cdots*\alpha_n^{\epsilon_n}*\cdots$ donde $\epsilon_n=\pm 1$. Desde los diámetros de ir a cero, esto realmente representa un bucle en el espacio. Sin embargo, es claro que hay una cantidad no numerable de tales lazos. La parte difícil es demostrar que ningún par de ellos es homotópica.