¿La suma directa de matrices es distributiva respecto a la suma de matrices?

Question

Una simple pregunta que me ha estado molestando - ¿es la suma directa de matrices en general distributiva sobre la suma de matrices? es decir, ¿es cierto lo siguiente? $\bigoplus_{i=1}^n (A_i+B_i)=(\bigoplus_{i=1}^n A_i) +(\bigoplus_{i=1}^n B_i) $ Gracias.

Answer 1

Se puede pensar en la suma directa utilizando matrices diagonales en bloque. Cada bloque corresponde a un subespacio ortogonal diferente. Implícitamente, sus matrices $A_i$ , $B_i$ pertenecen todos al subespacio indexado por $i$ . En cada subespacio, sólo se hace la suma normal de matrices. La distributividad significa que no se suman bloques de diferentes subespacios.

Ejemplo:

\begin{align} \bigoplus_{i=1}^2 A_i+\bigoplus_{i=1}^2 B_i = & \begin{bmatrix} A_1 & 0\\ 0 & A_2 \end{bmatrix} \\ + & \begin{bmatrix} B_1 & 0\\ 0 & B_2 \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} A_1 +B_1 & 0\\ 0 & A_2 + B_2 \end{bmatrix} \\ = & \bigoplus_{i=1}^2(A_i+B_i) \fin{align}