Demostrar la convergencia uniforme y la identidad de la serie $\sum^{\infty}_{n=0} e^{-nx}$ y $\sum^{\infty}_{n=0} ne^{-nx}$ donde $x > 0$ .

Question

Demostrar la convergencia uniforme y la identidad de la serie $\sum^{\infty}_{n=0} e^{-nx}$ y $\sum^{\infty}_{n=0} ne^{-nx}$ donde $x > 0$ .

Considere $\sum^{\infty}_{n=0} e^{-nx}$ y $\sum^{\infty}_{n=0} ne^{-nx}$ donde $x > 0$ .

He demostrado que $$\sum^{\infty}_{n=0} e^{-nx} = \frac 1 {1-e^{-x}}$$ .

Debo mostrar ambas series para $x_0 > 0$ que ambas series convergen uniformemente en $[x_0, \infty)$ . Para ello he tratado de encontrar series mayoritarias para ambos pero no he tenido éxito.

$$e^{-nx} = \frac 1 {e^{nx}} \le \frac 1 {2^{nx}}\le \frac 1 {2^{nx_0}}$$ pero esto no da una serie de mayorantes adecuada.

También debo mostrar $$\sum^{\infty}_{n=0} ne^{-nx} = \frac {e^x} {(e^x-1)^2}$$

Tengo $(e^{-nx})^{'} = -ne^{nx}$ . ¿Puedo mostrar $$\sum^{\infty}_{n=0} -ne^{-nx}$$ ¿convergen uniformemente? (cómo) - si es así entonces $$\sum^{\infty}_{n=0} -ne^{-nx}= \frac {-e^x} {(1-e^{-x})^2}$$ que no es el resultado que esperaba?

Answer 1

Dejemos que $a>0$ entonces tenemos $$|e^{-nx}|\le e^{-na},\quad\forall x\ge a$$ y la serie $$\sum_{n\ge0}e^{-na}$$ es convergente por lo que tenemos la convergencia uniforme de $\sum_n e^{-nx}$ en cada intervalo $[a,\infty)$ y claramente $$\sum_{n=0}^\infty e^{-nx}=\frac1{1-e^{-x}}$$ .

Por el mismo método y utilizando esa $$|ne^{-nx}|\le ne^{-na},\quad \forall x\ge a$$ demostramos la convergencia uniforme de $\sum_nne^{-nx}$ en el intervalo $[a,+\infty)$ y como $$(e^{-nx})'=-ne^{-nx}$$ por lo que tenemos $$\sum_{n=0}^\infty ne^{-nx}=-\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^\infty e^{-nx}\right)=-\frac{d}{dx}\left(\frac1{1-e^{-x}}\right)=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2},\quad\forall x>0$$

Answer 2

La segunda se obtiene diferenciando la primera con respecto a la primera. $x$ . Como has demostrado que converge uniformemente, puedes diferenciar $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx} = \frac{1}{1 - e^{-x}}$ término por término en el lado izquierdo como en el derecho.

Este tipo de secuencia se denomina Secuencia aritmética-geométrica . Puedes hacer lo siguiente y demostrar que converge uniformemente. $$S_m(x) = \sum_{k=1}^{m} k e^{-kx} \tag{1}$$

Multiplicar $(1)$ por $e^{-k}$ y restando el $(1)$ da, $$ e^{-kx}S_m(x) - S_m(x) = \sum_{k=1}^{m}ke^{-(k+1)x} - \sum_{k=1}^{m}ke^{-kx} \\ = me^{-(m+1)x} + \sum_{k=2}^{m}(k-1)e^{-kx} - \sum_{k=2}^{m}k e^{-kx} - e^{x}\tag{2}$$

Puede encontrar el valor de $S_m(x)$ de $(2)$ y demostrar que converge uniformemente al valor deseado.