Encontrar todas las ortogonales $3\times 3$ matrices de la forma...

Question

Encontrar todas las ortogonales $3\times 3$ matrices de la forma

\begin{bmatrix}a&b&0\\c&d&1\\e&f&0\end{bmatrix}

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Utilizando el hecho de que $A^TA$ = $I_n$ En este caso, lo he montado todo y he acabado con el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\left\{\begin{array}{l}a^2 + e^2 = 1\\ ab + ef = 0\\ b^2 + f^2 = 1\end{array}\right.$$

Sé que puedo hacer que las cosas sean iguales al seno y al coseno de theta, pero no sé exactamente cómo escribir esta respuesta en el papel. Tiene que haber muchas posibilidades, ¿no? ¿Cuántas exactamente?

Answer 1

De hecho, hay pocas posibilidades. En primer lugar, ya que $c^2+d^2+1^2=1$ , $c=d=0$ .

Ahora, usted sabe que $a^2+b^2=1$ que $e^2+f^2=1$ y que $ab+ef=0$ . Esto significa que la matriz $\left(\begin{smallmatrix}a&b\\e&f\end{smallmatrix}\right)$ is orthogonal. Therefore, there is some $\theta\in\mathbb R$ such that$$\begin{pmatrix}a&b\\e&f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\text{ or that }\begin{pmatrix}a&b\\e&f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}.$$

Answer 2

Usted tiene \begin{align} a^2+e^2=b^2+f^2&=1\\ c=d=ab+ef&=0. \end{align}

La primera ecuación representa las longitudes de los vectores (unitarios) $\pmatrix{a\\e}$ y $\pmatrix{b\\f}$ y la segunda ecuación representa el producto escalar de estos vectores, mostrando que son perpendiculares.

Sin pérdida de generalidad, dejemos que $\pmatrix{a\\e}=\pmatrix{\cos\theta\\\sin\theta}$ para algunos $\theta\in\mathbb{R}.$ Entonces $\pmatrix{b\\f}$ puede ser $\pmatrix{-\sin\theta\\\cos\theta}$ o $\pmatrix{\sin\theta\\-\cos\theta}$ (dibújalo si no ves por qué esto es así).

Esto significa que la matriz que se busca es cualquiera de las dos matrices

$$\pmatrix{\cos\theta & \mp\sin\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \sin\theta &\pm\cos\theta & 0}.$$

Answer 3

Tenemos $c=d=0$ y de $$a^2+b^2=1$$ $$e^2+f^2=1$$ $$2ab+2ef=0$$ se obtiene al sumar las tres ecuaciones

$$(a+b)^2+(e+f)^2=2.$$