Hallar el volumen del cuerpo delimitado por $z = x^2 + y^2, z= 1-x^2-y^2$ .

Question

De nuevo, soy nuevo en el volumen de cuerpos y estoy luchando con ello.

Hallar el volumen del cuerpo delimitado por $z = x^2 + y^2, z= 1-x^2-y^2$ .

Ahora, por una pregunta anterior, sé que puedo hacerlo por $\iint_{D} {z_2(x,y) - z_1(x,y)dxdy}$ .

En este caso, esto es lo que hice:

$V = \iint_{D} {[2x^2 + 2y^2 -1] dxdy}$ . Pero luché con lo que $D$ es en este caso. ¿Son dos círculos centrados en $(0,0)$ con radios $\sqrt{z}$ y $\sqrt{1-z}$ ¿o me estoy perdiendo algo aquí? Estas preguntas me están volviendo loco.

Answer 1

Puedes volver a utilizar las Coordenadas Cilíndricas para ello. Tenga en cuenta que al tener $x^2+y^2$ Por lo general, nos indica que utilicemos esta coordenada en lugar de las cartesianas. En primer lugar hay que encontrar el área en la que se establece todo el volumen. ¿Qué es eso? Para hacer esto y para esta pregunta, intersecte dos funciones. $$x^2+y^2=z=1-x^2-y^2\longrightarrow x^2+y^2=1/2$$ Esto significa que esa área de deseo es un círculo en $xy$ plano como $x^2+y^2=1/2$ .

Ahora, hagamos algunas conversaciones polares. $$x^2+y^2=1/2\longrightarrow r^2=1/2,~~ \theta\in[0,2\pi]$$ o $$r\in [0..\sqrt{2}/2],~~\theta\in[0,2\pi]$$ Así que tenemos: $$V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{2}/2}\int_{z_1}^{z_2}r dr d\theta$$ Ahora adivina qué puede ser eso $z_1$ y $z_2$ ser. Si no conoces las integrales triples, podemos hacer $V$ de la siguiente manera: $$V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{2}/2}(z_2-z_1)~r dr d\theta$$