centro del álgebra de operadores acotados

Question

Supongamos que X es un espacio de Banach. ¿Cómo demostrar que el centro del álgebra B(X)( operadores acotados sobre X) está formado sólo por los operadores aI, donde a es escalar e I es el operador identidad?

Answer 1

¿Quizás esto es hw? De todos modos, siempre tienes operadores de rango uno $x\mapsto L(x)v$ , $v\in X$ , $L\in X^*$ y cualquier operador que conmuta con todos ellos se ve fácilmente que es escalar.

Answer 2

El argumento de BS funciona también en el caso de que $X$ es un espacio Hausdorff localmente convexo ya que el dual topológico sigue separando puntos (por Hahn-Banach). Esto es suficiente para demostrar que los operadores (continuos) de rango finito actúan transitivamente sobre vectores distintos de cero, de lo que se deduce que su centro es ya trivial. Pero entonces todos los operadores acotados tienen como mucho el centro de los de rango finito y los múltiplos de la identidad.

Así que si quieres ir más allá del centro trivial tienes que considerar espacios vectoriales topológicos que no son lc, bastante raros ;) No sé la respuesta para $L^p$ espacios con $p < 1$ ...?

Supongo que el problema más interesante es si hay más operadores acotados que los operadores continuos de rango finito y los múltiplos de la identidad...

Answer 3

Si lo veo bien, entonces toma una base de Hamel $(v_i)$ con $i \in I$ del espacio de Banach $X$ . A continuación, el interruptor de coordenadas $T_{i,j}:v_k \mapsto \delta_{i,k}v_j$ está acotado, porque los subespacios de dimensión finita tienen un complemento en un espacio de Banach. Escribiendo cualquier $S$ en el centro de $\mathscr{B}(X)$ como una matriz con filas y columnas indexadas por $I$ , la conmutatividad de $S$ y $T_{i,i}$ muestra que es debe ser diagonal y la conmutatividad de $S$ y $T_{i,j}$ muestra que todas las entradas diagonales deben ser iguales. Por lo tanto, $S$ es un múltiplo escalar de la identidad.

La esencia del argumento es que los subespacios de dimensión finita se complementan en los espacios de Banach.