¿Cómo puede ser el área un vector?

Question

Mi profesor me dijo hace poco que el Área es un vector. Una búsqueda en Google me dio la siguiente definición de vector:

Sustantivo: Cantidad que tiene dirección y magnitud, especialmente para determinar la posición de un punto en el espacio con respecto a otro. determinar la posición de un punto en el espacio con respecto a otro.

Mi pregunta es: ¿cuál es la dirección del área? Puedo relacionarlo con el hecho de que la velocidad es un vector. La velocidad de una moto en movimiento, por ejemplo, tiene una dirección definida, así como una magnitud definida, suponiendo que la moto se mueve en línea recta y no acelera.

Mi amigo me dio esta explicación para la dirección del vector Área. Considera un plano rectangular en el espacio. Argumentó que el orientación del plano en el espacio sólo puede describirse considerando el área como un vector y no como un escalar.

Todavía no estaba convencido. Supongamos que el plano se colocara de forma que sus caras fueran perpendiculares a las direcciones, Norte y Sur por ejemplo. Ahora la orientación del plano es la misma independientemente de si el llamado vector apunta al norte o al sur. Además, ¿cuál es la dirección del área de una esfera?

¿Considerar el área como un vector tiene algún significado real? Por favor, explíquelo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto podría ser más bien una pregunta matemática. Es una cosa peculiar del espacio tridimensional. Tenga en cuenta que en tres dimensiones, un área como un plano es un subespacio de dos dimensiones. En una hoja de papel sólo se necesitan dos números para denotar inequívocamente un punto.

Ahora imagina que estás de pie sobre la hoja de papel, la dirección a la que apunta tu cabeza será siempre una forma de saber cómo está orientado este plano en el espacio. Esto se llama el vector "normal" a este plano, está en ángulo recto con el plano.

Si ahora eliges la convención de que la longitud de este vector normal sea igual al área de esta superficie, obtienes una descripción completa del plano bidimensional, su orientación en el espacio tridimensional (la parte vectorial) y lo grande que es este plano (la longitud de este vector).

Matemáticamente, se puede expresar mediante el "producto cruzado" $$\vec c=\vec a\times\vec b$$ cuya magnitud se define como $|c| = |a||b|sin\theta$ que es igual al área del paralelogramo que abarcan esos dos vectores (que en realidad definen un plano). Para robar esta imagen del artículo de wikipedia sobre el producto cruzado:

Como dije al principio esto es algo muy especial para las tres dimensiones, en las dimensiones superiores, no funciona tan limpiamente por varias razones. Si quieres aprender más sobre este tema una palabra clave sería "álgebra exterior"

Actualización:

En cuanto a la importancia física de este concepto, los ejemplos más destacados son los campos vectoriales que fluyen a través de las superficies. Tomemos un cable circular. Este círculo puede orientarse de varias maneras en 3D. Si tiene un campo magnético externo, sabrá que éste puede inducir una corriente eléctrica, proporcional a la tasa de cambio de la cantidad que fluye a través del círculo (piense en esto como la cantidad de flechas que perforan el área). Si los vectores del campo magnético son paralelos al círculo (y, por tanto, ortogonales a su vector normal) no "perforan" el área en absoluto, por lo que el flujo a través de esta área es cero. En cambio, si los vectores de campo son ortogonales al plano (es decir, paralelos a la normal), "perforan" al máximo esta zona y el flujo es máximo.

si se cambia la orientación de entre esos dos estados se puede obtener corriente eléctrica.

Answer 2

El principal régimen de uso es cuando un área es infinitesimalmente pequeña, como la que se utilizaría en una integral. En ese caso, podemos ver fácilmente que es plana, y la forma no importa realmente. En ese caso, podemos codificar la información como un vector, con la magnitud representando el área (escalar); la elección (como has notado) de apuntar hacia fuera de cualquier lado dado es exactamente eso --- una elección --- pero una que puede hacerse consistentemente. Podemos extender esto a los planos no infinitesimales, pero no funciona tan bien para las superficies curvas.

Para ser precisos, lo que realmente quieres es un co-vector . Se trata de un gadget abstracto que toma un vector y escupe un escalar. Para un plano, se quiere que represente la "cantidad" del vector que atraviesa el plano --- por lo que debe ser lineal en el vector (duplicar el vector duplica la salida) y debe tener en cuenta el ángulo en el que el vector lo golpea (da un factor de $\cos$ ). Ahora, podemos plantear la pregunta de cómo representan este covector abstracto, ¡y resulta que un vector es una buena idea! En concreto, podemos representar la acción como si tomáramos el producto punto, que codifica naturalmente la linealidad y el coseno. Ahora bien, en general, esto tiene el mismo número de dimensiones que un vector propiamente dicho, pero esto sólo codifica un área (una superficie 2D) en 3D --- en 2D obtendrías una línea, en 4D un volumen (¡sí! ¡Un vector 4 interseca un volumen en un punto!).

Si quieres aprender más sobre este tipo de cosas, te conviene investigar la geometría diferencial, donde lo único que hay que hacer es tener claro este tipo de cosas y no mezclar vectores y covectores (llamados formularios en ese campo). Una buena referencia para leer es Campos gauge, nudos y gravedad que parte de una visión general básica de las matemáticas y las desarrolla para su uso físico.

Answer 3

Piensa que la fuerza es la presión por el área ( $F = P\cdot A$ ). Sabes que la presión es un escalar (no tiene dirección asociada), y que una fuerza es un vector (actúa a lo largo de un eje). Entonces, ¿qué significa eso para la presión?

Tome un área pequeña y vea su contribución a la fuerza total debida a la presión

$$ {\rm d}F = P(x,y,z)\,{\rm d}A $$

La dirección de la fuerza es normal al área, y su magnitud es proporcional al tamaño del área. Por eso un área infinitesimal ${\rm d} A$ puede ser un vector. Es conveniente pensar en (vector)=(escalar)*(vector).

Answer 4

Hay un ejemplo especialmente pintoresco de la Ley de Pitágoras en tres dimensiones aplicada a las áreas de un simplex. (Donde por "simplex" creo que se entiende una sección del espacio limitada por tres planos ortogonales y un plano arbitrario). La suma de los cuadrados (de las áreas) de las tres caras pequeñas es igual al cuadrado del área de la cara oblicua. Se explica fácilmente por los argumentos de tipo presión/flujo expuestos en las otras respuestas publicadas aquí, además de la condición física obvia de que un fluido no perturbado está en equilibrio consigo mismo.