La desigualdad integral

Question

Dejemos que $f$ sea una función entera de tipo exponencial. ¿La desigualdad $|f(a)| \le C \int_{a-1/2}^{a+1/2}|f(x)|\,dx$ se mantienen para cada $a \in R$ con una constante absoluta $C$ ? Como mucho, la constante puede depender de $f$ . La cuestión se plantea en relación con la teoría espectral.

Answer 1

No, no es necesario que se cumpla esa desigualdad: se puede construir $f$ de de tipo exponencial y una secuencia $\{a_n\}$ de números reales tal que $$ \frac1{f(a_n)} \int_{a_n - \frac12}^{a_n - \frac12} \left|\phantom.f(x)\right|\phantom. dx \rightarrow 0. $$ En efecto, si $\{a_n\}$ aumenta lo suficientemente rápido, entonces el crecimiento de $f$ puede ser arbitrariamente lento dado que $f$ no puede ser un polinomio; por ejemplo, tomando $a_n = 10^n$ en la construcción de abajo hace $$ f(z) \ll \exp\left(B \phantom. \log^2 (1+\left|z\right|)\right) $$ para alguna constante absoluta $B$ (y todos $z \in {\bf C}$ ).

(La siguiente construcción explica lo que hay en los comentarios de Fedja y los míos, pero ninguno de los dos se puso a escribirlo hace dos meses, y ahora mathoverflow lo ha vuelto a poner al frente de la cola, presumiblemente por la falta de una respuesta votada o aceptada).

La idea es hacer $f(a_n)$ más pequeño de lo habitual dado el crecimiento de $f$ , pero sigue siendo mayor que su media en $\left|x-a_n\right| \leq \frac12$ , debido a $n$ -cero de orden en el borde de ese intervalo. Si $a_n \rightarrow\infty$ lo suficientemente rápido entonces $f$ puede seguir teniendo un crecimiento exponencial o incluso mucho más lento.

Dejemos que $\lbrace a_n \rbrace$ Por lo tanto, se trata de una secuencia de rápido crecimiento, digamos $a_n = 10^n$ y definir $f$ como el producto real de Weierstrass $f = \prod_{m=1}^\infty f_m^m = f_1 \phantom. f_2^2 \phantom. f_3^3 \phantom. f_4^4 \cdots $ donde $$ f_m(x) = \Bigl( 1 - \frac{x}{a_m - \frac12} \Bigr) \phantom. \Bigl( 1 - \frac{x}{a_m + \frac12} \Bigr) $$ es el polinomio cuadrático con raíces en $a_m \pm 1/2$ tal que $f_m(0) = 1$ . Incluso con las crecientes multiplicidades de las raíces de $f$ , los ceros son lo suficientemente escasos como para asegurar la convergencia y el crecimiento lento del el producto.

Ahora, para los grandes $n$ si restringimos $x$ a $\left|x-a_n\right| \leq \frac12$ entonces todos los factores $f_m^m$ para $m\neq n$ son esencialmente constantes en ese intervalo, por lo que $f(x)$ está muy cerca de $\phantom.f(a_n)\phantom. \left(\phantom.f_n(x)\left/f_n(a_n)\right.\right)^n$ . Así, $$ \frac1{f(a_n)} \int_{a_n - \frac12}^{a_n - \frac12} \left|\phantom.f(x)\right|\phantom. dx \sim \int_{a_n - \frac12}^{a_n - \frac12} \left(\frac{f_n(x)}{f_n(a_n)}\right)^n \phantom. dx = \int_0^1 \bigl(4u(1-u)\bigr)^n \phantom. du, $$ donde $u = x - (a_n - \frac12)$ . La integral es $(2^n n!)^2 \left/ (2n+1)! \right. = O(n^{-1/2}) \rightarrow 0$ , QED .

Answer 2

Pedir una desigualdad para funciones enteras que NO son polinomios no tiene sentido. Tome el contraejemplo del polinomio de Fedja (o cualquier otro contraejemplo de polinomio) y multiplíquelo por $\exp(ix)$ . Para un contraejemplo a la segunda pregunta, tome un producto apropiado.