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¿Cuándo un cubo de cofibraciones es una "red"?

Dejemos que $C$ sea una categoría con cofibraciones en el sentido de (Waldhausen, Algebraic K-Theory of Spaces) y denote por $F_n(C)$ la categoría con cofibraciones que consiste en secuencias de $n$ cofibraciones $A_0 \rightarrowtail A_1 \rightarrowtail \dotsc \rightarrowtail A_n$ en $C$ . Una cofibración en $F_n(C)$ es una escalera conmutativa formada por "celosías". Véase el documento adjunto PDF para una definición precisa.

Waldhausen da una hermosa prueba gráfica de que existe una equivalencia $F_n F_m C \cong F_m F_n C$ (Lemma 1.1.5). La razón es, básicamente, que un objeto en ambas categorías viene dado por un conjunto rectangular de cofibraciones, tal que cada cuadrado es una red, que es un simétrico condición. Ahora, Waldhausen sólo indica por qué esta equivalencia $F_n F_m \cong F_m F_n$ también preserva las cofibraciones y, por tanto, es exacta. En concreto, afirma que una cofibración en $F_n F_m C$ es un $3$ -que satisface de forma similar algún simétrico condición, pero no la nombra explícitamente. Entonces, ¿cuál es esta condición? Así que básicamente la pregunta es: ¿Cuándo debemos llamar a un cubo conmutativo de cofibraciones una red?

La pregunta completa contiene muchos diagramas (también uno tridimensional), que no se pueden visualizar correctamente con MO-Latex. Por lo tanto, he decidido escribir la pregunta completa, también con algunos de mis intentos hasta ahora, como un PDF . Espero que esto no sea inapropiado para MO.

EDIT: Eva Höning me señaló que un cubo de fibraciones es una celosía si cada uno de los seis cuadrados es una celosía, y el mapa desde el empuje del cubo sin su punta hasta la punta es una cofibración. Y es bastante sencillo ver que ambos $F_n F_m$ y $F_m F_n$ tienen estos cubos como cofibraciones. En primer lugar no fui lo suficientemente cuidadoso con las definiciones para ver eso, pero es realmente fácil.

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Kaarel Puntos 6570

La noción que busca es bien conocida en la teoría de la homotopía con el nombre de Cofibración de cañas pero, por alguna razón, este nombre no aparece en los documentos sobre las categorías de Waldhausen, a pesar de que el concepto se utiliza todo el tiempo.

Para mantener las cosas cerca de su pregunta digamos que $J$ es un poset finito (en general puede ser cualquier categoría directa ). Para un diagrama $X : J \to \mathcal{C}$ y $j \in J$ definimos un objeto de enclavamiento $L_j X$ como el colímite de la restricción de $X$ al subconjunto $\lbrace i \in J \mid i < j \rbrace$ . Si $L_j X$ existe, entonces viene con un mapa canónico $L_j X \to X_j$ . Decimos que un diagrama $X$ es Reedy cofibrante si todos $L_j X$ y los mapas canónicos $L_j X \to X_j$ son cofibraciones. Más generalmente, un mapa de diagramas cofibrantes de Reedy $X \to Y$ es un Cofibración de cañas si todos los mapas inducidos $X_j \sqcup_{L_j X} L_j Y \to Y_j$ son cofibraciones.

Se puede comprobar fácilmente que si $\mathcal{C}$ es una categoría con cofibraciones, entonces también lo es la categoría de diagramas cofibrantes de Reedy $J \to \mathcal{C}$ (y las cofibraciones de Reedy como cofibraciones). Lo mismo ocurre con las categorías de Waldhausen.

Ahora, $F_n \mathcal{C}$ no es otra cosa que la categoría de diagramas cofibrantes de Reedy $[n] \to \mathcal{C}$ y se puede comprobar que ambas categorías $F_n F_m \mathcal{C}$ y $F_m F_n \mathcal{C}$ puede identificarse con la categoría de diagramas cofibrantes de Reedy $[m] \times [n] \to \mathcal{C}$ (como categorías con cofibraciones), lo que llena el vacío de la prueba.

Editar: Me he dado cuenta de que para responder a todas vuestras inquietudes planteadas en los comentarios, tendría que repasar la teoría básica de las cofibraciones de Reedy y una respuesta de MO no es un buen lugar para ello. En su lugar, trataré de indicar lo que hay que hacer y señalar una referencia (por desgracia, no conozco una referencia que discute exactamente lo que necesita).

Inicialmente, pensé que simplificaría las cosas restringiendo a los posets finitos, pero esto sólo resultó en oscurecer una parte importante de la historia. Así que pasemos a las categorías generales directas (por cierto, "directo" es muy diferente de "dirigido"). Una pequeña categoría $J$ es directo si existe un functor $\mathrm{deg} : J \to \mathbb{N}$ tal que para cualquier morfismo no identitario $i \to j$ en $J$ tenemos $\mathrm{deg} i < \mathrm{deg} j$ . Todo lo que he dicho arriba es válido, sólo hay que modificar la definición de los objetos de enganche, $L_j X$ se define como el colímite sobre $\partial J \downarrow j$ es decir, la subcategoría completa de la tajada $J \downarrow j$ abarcados por morfismos no identitarios.

El hecho clave es que el colímite de un diagrama cofibrante de Reedy siempre existe, la prueba se puede encontrar en http://arxiv.org/abs/math/0610009v4 (Teorema 9.3.5). Si se repasa la prueba se verá que esto significa en particular que si se sabe que algún diagrama es cofibrante de Reedy por debajo de cierto grado $m$ , entonces los objetos de enclavamiento en grado $m$ existe. Esto debería ayudarte a ver por qué $L_j (X_{i,\bullet})$ de su comentario existe.

Si $I$ y $J$ son directos, entonces también lo son $I \times J$ (sólo toma la suma de los grados). Usando las observaciones anteriores deberías ser capaz de verificar que un diagrama $I \to \mathcal{C}^J$ es cofibrante de Reedy si y sólo si el diagrama correspondiente $I \times J \to \mathcal{C}$ es Reedy cofibrante. Además, un morfismo $X \to Y$ en $\mathcal{C}^J$ es una cofibración de Reedy entre diagramas cofibrantes de Reedy si y sólo si el diagrama correspondiente en $\mathcal{C}^{J \times [1]}$ es Reedy cofibrante. Espero que estas cosas sean suficientes para responder a sus preguntas.

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