¿Qué se intuye detrás de los "sistemas rígidos"?

Question

Una de las incógnitas que me dejó mi clase de numérica son los "sistemas rígidos". Nuestro profesor no logró explicar lo que son. Ahora que la clase (y el examen) han terminado, sigo teniendo curiosidad.

La definición más concisa sobre los "sistemas rígidos" que he encontrado hasta ahora es: "No existe una definición de rigidez universalmente aceptada". Así que, si no la hay, no espero que la haya.

Agradecería información sobre los dos puntos siguientes:

• ¿De qué tipo de problemas (del mundo real) surgen los sistemas rígidos? ¿Qué tienen de "rígidos"?
• ¿Qué es lo bueno -o lo malo- que me preocuparía cuando tenga que resolver numéricamente un problema de este tipo en el mundo real?

Answer 1

Puedo intentar explicar un aspecto simplificado del problema con un ejemplo. Digamos que usted está tratando de resolver numéricamente la siguiente ecuación lineal:

$$y'(t) = Ay(t)$$

donde $y\in\mathbb{R}^n$ y $A$ es $n\times n$ . Si los valores y vectores propios de $A$ son $\lambda_i$ y $v_i$ (se supone que es distinto con $Re(\lambda_i)<0$ ) entonces la solución exacta es

$$y(t) = \sum_i a_i \exp(\lambda_i t) v_i$$

para las constantes $a_i$ . Ahora considere la posibilidad de resolverlo con el método de Euler hacia adelante:

$$y(t+\delta t) = y(t) + \delta t A y(t) = (I + \delta t A) y(t)$$

Para que esto converja debemos tener $|1 + \lambda_i \delta t|<0$ para todos $i$ .

En el caso simple en el que todos los valores propios son reales, dejemos que el más negativo tenga valor $\lambda_i=-\kappa$ . En este caso necesitamos

$$\kappa \delta t - 1 < 1 \quad\Rightarrow\quad \delta t < \frac{2}{\kappa}$$

para evitar una inestabilidad oscilante, por lo que hay un tamaño de paso máximo. Pero uno de los valores propios puede tener una parte real negativa muy pequeña, $\lambda_i = -\epsilon$ para que tome $O(1/\epsilon\delta t)$ pasos de tiempo para converger al equilibrio. Uniendo todo esto, se puede ver que el número de pasos necesarios para que el sistema converja al equilibrio es

$$O(\kappa/\epsilon)$$

es decir, depende de la relación entre los valores absolutos de los valores propios mayores y menores. Esta relación suele denominarse relación de rigidez y un sistema rígido se suele tomar como uno que tiene una relación de rigidez alta, para alguna definición adecuada de "alta".

Answer 2

El camino I Siempre he pensado en esto:

Imagina que tienes dos objetos móviles unidos por un muelle. Cuando un objeto se mueve, estira el muelle, lo que hace que el otro objeto se mueva. Ahora puedes elaborar un sistema de ecuaciones diferenciales que describa todo esto, e integrarlo numéricamente para averiguar qué hace el sistema. (En realidad, un sistema este trivial podría incluso admitir una solución de forma cerrada).

Ahora imagina que coges el muelle y lo sustituyes por una barra de acero.

Científicamente, una barra de acero es como un muelle: se puede estirar y aplastar. Pero prácticamente la deformación real de la barra va a ser minuto . (A menos que se trate de fuerzas realmente enormes).

Básicamente, lo que estás diciendo es que una barra de acero es sólo un muelle con un increíblemente grande constante del muelle. En otras palabras, la barra de acero es un "muelle rígido".

Ahora piensa en cómo vas a resolver eso numéricamente. Con un muelle "normal", cuando mueves un extremo, el otro oscila un poco y finalmente se estabiliza en la longitud natural del muelle. Cuando mueves una barra de acero, ¿qué ocurre? en el mundo real es que el otro extremo alcanza instantáneamente el equilibrio. Lo que ocurre en la simulación es que la enorme constante del muelle hace que el sistema oscile como un loco, y hay que dar pasos minúsculos, minúsculos, para hacerlo converger al equilibrio correctamente.

En resumen, los sistemas rígidos son un dolor para resolver numéricamente. De hecho, mientras leía un tutorial de nVidia (?) sobre integración numérica, daban el siguiente consejo para tratar con sistemas rígidos: "Intenta que no sean rígidos. Si no lo consigues, utiliza métodos implícitos. Buena suerte con eso..."

Esto no es una "definición", pero debería darte una idea de la intuición que hay detrás del término. (A no ser, por supuesto, que esté completamente equivocado... En ese caso, seguro que alguien lo dirá).

Answer 3

Imagina que la solución del problema de valor inicial que estás integrando, cambia muy lentamente, pero por otro lado, tienes soluciones cercanas que cambian muy rápido.

Su método de integración es aproximado y nunca está exactamente "encima" de su solución, por lo que los pequeños errores tienden a magnificarse. Frente a esta situación, los algoritmos con tamaño de paso variable intentarán que el tamaño de paso sea muy pequeño para evitarlo.

En el mejor de los casos, esto hará que el proceso de integración sea muy lento. En el peor de los casos, los pequeños pasos de integración aumentarán drásticamente los errores de redondeo del método.

Obsérvese que una solución de una ecuación diferencial puede ser rígida para algunos valores y no serlo para otros. Un indicador general de rigidez es una gran diferencia en los valores propios del problema linealizado. Aunque esto no siempre se aplica, le da una idea. Esto significa que su problema está escalado de diferentes maneras, por lo que requiere un tamaño de paso pequeño y un tamaño de paso grande al mismo tiempo.