Creo que la respuesta a esta pregunta es sí. Ya que hasta esta unión cubrirá todos los números naturales así como los transfinitos. Pero como el término $arbitrary$ tiene un área amplia ¿qué pasa con otros (como $empty\ union$ ) ? Sin embargo, a veces hemos visto este símbolo para la unión contable, mientras que algunos autores lo utilizan para la unión arbitraria (en la definición de topología).
Por favor, aclárelo. ¿Qué me falta?
No, esto representa una contable unión. En este contexto se tiene un conjunto $A_i$ por cada $i \in {\mathbb N}$ y se forma la unión $$\bigcup_{i=0}^\infty A_i = \bigcup \{ A_i \mid i \in {\mathbb N}\} = \{ x \mid \exists i \in {\mathbb N}: x \in A_i\}.$$ En particular, no hay $A_\infty$ incluidos en la unión.
Para un arbitrario unión, tendrías un conjunto de índices (de tamaño arbitrario) $I$ y un conjunto $A_i$ por cada $i \in I$ y se forma la unión $$\bigcup_{i \in I} A_i = \bigcup \{ A_i \mid i \in I\} = \{ x \mid \exists i \in I: x \in A_i\}.$$ O, como se sugiere en los comentarios de Mark S., tendrías un conjunto ${\cal A}$ cuyos miembros son conjuntos y se forma la unión $$\bigcup{\cal A} = \{x \mid \exists A \in {\cal A} : x \in A \}.$$
Si se toma una unión hasta e incluyendo algún ordinal (posiblemente transfinito) $\beta$ probablemente se te entendería si escribieras $\bigcup_{\alpha=0}^\beta A_\alpha$ pero creo que es más común escribir $\bigcup_{\alpha \leq \beta} A_\alpha$ en ese caso, especialmente porque entonces también se puede escribir $\bigcup_{\alpha < \beta} A_\alpha$ para significar que $A_\beta$ no está incluido en la unión.
Si quieres hacerte cargo del sindicato todo ordinales, se podría escribir $\bigcup_{\alpha \in \text{Ord}} A_\alpha$ ignorando por un momento que esto te lleva al dominio de las clases propias en lugar de los conjuntos.
Si quieres que la unión alcance un índice infinito, necesitas un sistema numérico que incluya números infinitos, como los hiperreales. Sobre los hiperreales sí se pueden tener índices infinitos $H$ y las uniones hiperfinitas del tipo $\bigcup_{i=1}^{H}$ .
En otras palabras, lo que te falta es que las uniones infinitas "hasta un cardinal" no tienen sentido (al menos no sin más esfuerzo).
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