Rango de la matriz triangular superior en condiciones especiales

Question

Llevo un tiempo buscando una respuesta a esta pregunta. Lo pregunto porque me ayudaría mucho con un problema que tengo. Esencialmente, lo que quiero saber es si una matriz en bloque de la forma

$$A = \begin{pmatrix} I & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$$

donde $I$ es la matriz de identidad, $B$ es una matriz arbitraria, $C$ es una matriz no singular. ¿Es cierto que el rango $A$ = rango $I$ + rango $C$ ? Sé que esto es cierto cuando $B = 0$ pero no estoy seguro de algo como esto. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Pues bien, para las matrices triangulares superiores en bloque, tenemos el mismo resultado que para las matrices regulares:

$$ \det(A) = \det(I)\cdot \det(C) = \det(C) \neq 0 $$

así que $A$ es invertible y debe tener rango completo. Esto coincide con la suma de los rangos de $A$ y $C$ porque también tienen rango completo, ya que son invertibles.