Consideremos un espacio topológico $(X,\tau)$ . Me gustaría saber si el conjunto $\tau$ de conjuntos abiertos puede recibir su propia topología de forma canónica. En este sentido, estoy pidiendo el mismo tipo de cosa que esta pregunta anterior . Sin embargo, también me gustaría especificar una propiedad que debería tener esta topología canónica, cosa que la otra pregunta no hace, así que espero que esto no se considere un duplicado.
En concreto, dejemos que $(X,\tau)$ y $(Y,\sigma)$ sean espacios topológicos, y consideremos una función continua $f\colon X\to Y$ . Podemos definir el mapa de retroceso como una función $f^*\colon \sigma\to\tau$ que mapea subconjuntos abiertos de $Y$ a sus preimágenes bajo $f$ que son subconjuntos abiertos de $X$ .
Me gustaría saber si $f^*$ puede considerarse como una función continua. Eso significaría definir los subconjuntos abiertos de $\sigma$ y $\tau$ . Me pregunto si se pueden definir de forma canónica, de manera que todo mapa continuo entre cualquier par de espacios topológicos tenga un pullback continuo.
Por supuesto, este sería el caso si sólo definimos la topología en $\tau$ para ser la topología discreta de todo espacio topológico $(X,\tau)$ pero me pregunto si es posible hacerlo de manera que puedan ser más gruesos que eso.
