Ocho muñecos diferentes deben ser empaquetados con una condición

Question

Hay que empaquetar ocho muñecas diferentes en ocho cajas distintas. Si dos de las cajas son demasiado pequeñas para que quepan cinco de las muñecas, ¿de cuántas maneras se pueden empaquetar las muñecas? He intentado resolverlo, pero me he confundido.

Answer 1

Hay que empaquetar ocho muñecas diferentes en ocho cajas distintas. Si dos de las cajas son demasiado pequeñas para que quepan cinco de las muñecas, ¿de cuántas formas se pueden empaquetar las muñecas?

Supongo que esto significa que cada muñeca va en una caja única.

Podemos encontrar este número utilizando inclusión-exclusión :

1. Incluimos todos los $8!$ permutaciones de los muñecos en cajas.

2. Excluimos las permutaciones en las que la caja pequeña-1 obtiene un muñeco demasiado grande. También excluimos las permutaciones en las que la caja pequeña-2 obtiene un muñeco demasiado grande.

3. A continuación, volvemos a incluir las permutaciones [???] en las que la caja pequeña-1 y la caja pequeña-2 obtienen un muñeco demasiado grande.

Esto da [???] permutaciones. Podemos verificar esto usando el GAP código

Number(PermutationsList([1..8]),i->not (i[1] in [1..5] or i[2] in [1..5]));

etiquetando las cajas demasiado pequeñas 1 y 2, y las muñecas demasiado grandes 1 a 5.

Alerta de spoiler:

Excluimos $5 \cdot 7!$ dos veces (eligiendo una de las cajas demasiado pequeñas, y poniendo en ella uno de los 5 muñecos demasiado grandes; el resto se llena arbitrariamente), y volvemos a incluir $5 \cdot 4 \cdot 6!$ (eligiendo las dos cajas pequeñas, y poniendo en ellas dos de los muñecos demasiado grandes; el resto se llena arbitrariamente). Esto da $8!-2 \cdot 5 \cdot 7! + 5 \cdot 4 \cdot 6!=4320$ .

Answer 2

Considere $A_1, A_2,..,A_8 $ son las casillas donde $b_1,b_2,..,b_8$ son las bolas. Además $A_1$ y $A_2$ son demasiado pequeños para sostener las bolas $b_1,b_2,..,b_5$ . Entonces, estos $5$ bolas va a otros $6$ cajas, es decir $A_3, A_4,..,A_8 $ en $6*5*4*3*2 = 720$ maneras. Ahora hay $3$ bolas a la izquierda y $3$ cajas a la izquierda. Estas bolas se pueden organizar en $3! = 6$ formas. Por lo tanto, el número total de formas de disponer las bolas es $720*6= 4320$

Answer 3

Una pista: Dejemos que $x_i$ denota el número de muñecas que se empaquetarán en la caja $i$ . Entonces, se busca el número de soluciones enteras de la ecuación $$x_1+x_2+\dots+x_7+x_8=8$$ con sujeción a $0\le x_1, x_2\le 4$ y $0\le x_i$ para $i\ge 3$ .