Límite de una secuencia (Mediante definición)

Question

Estoy haciendo un análisis real y quería saber si la forma en que he probado el problema está bien.

Utilizando la definición de convergencia de una secuencia

La secuencia $s_n$ converge a su límite $L$ si $\forall\;\epsilon>0\;\exists$ un $N(\epsilon)\in\Bbb{N}$ tal que $N<n$ $\implies|s_n-L|.$

Prueba $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+6}{n^2-6}=0$ .

Trabajo de raspado:

$$\left|\frac{n+6}{n^2-6}-0\right|<\epsilon\implies\left|\frac{n+6}{n^2-6}\right|<\epsilon$$

Supongamos que $n>2$ entonces

$$\frac{n+6}{n^2-6}<\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}<\epsilon$$

así $\frac{1}{n}<\epsilon\implies n>\frac{1}{\epsilon}$

$\therefore \forall\;\epsilon>0, $ hay un $N(\epsilon)=\frac{1}{\epsilon}$ tal que $N<n\;\implies \left|\frac{n+6}{n^2-6}-0\right|<\epsilon $ . QED

Answer 1

Ha dicho en un comentario $$\frac{n+6}{n^2-6}<\frac1n$$ es falso. Puedes probar con $n=3$ para verlo.

Para obtener una fracción mayor podemos aumentar el numerador o disminuir el denominador. Aquí haremos lo segundo. Si $n>6$ tenemos $$0<\frac{n+6}{n^2-6}<\frac{n+6}{n^2-36}=\frac1{n-6}$$ Dejemos que $\epsilon>0$ si tomamos $N(\epsilon)=\frac1\epsilon+6$ entonces Para $N(\epsilon)<n$ tenemos $$n>\frac1\epsilon+6\implies n-6>\frac1\epsilon\implies \frac1{n-6}<\epsilon$$ Así, para $N(\epsilon)<n$ tenemos $$\left|\frac{n+6}{n^2-6}-0\right|<\epsilon$$

Answer 2

No sé mucho sobre la convergencia de la secuencia, pero, este límite se puede resolver en el proceso habitual.

$$\frac{n+6}{n^2-6}=\frac{\frac{6}{n^2}+\frac{1}{n}}{1-\frac{6}{n^2}}$$

Entonces fácilmente cuando $n→∞$ el valor límite se acercará a $0/1 = 0$