Demostrar que dos normas son equivalentes

Question

1. Dos normas $\|\bullet\|_1$ y $\|\bullet\|_2$ son equivalentes si $\;\exists\;c_1,c_2>0$ tal que $c_1\|x\|_1\le \|x\|_2\le c_2\|x\|_1$

Estamos trabajando en $\mathcal C^1[0,1]$ y tengo las siguientes normas: $$\|f\|_{1,\infty}:=\|f\|_{\infty}+\|f'\|_{\infty}=\max\{|f(x)|: 0\le x\le 1\}+\max\{|f'(x)|: 0\le x\le 1\}$$ y $$|||f|||_2:=|f(0)|+\|f'\|_{\infty}=|f(0)|+\max\{|f'(x)|: 0\le x\le 1\}$$
Después de varios borradores he llegado a la conclusión de que tengo que considerar dos casos. Si $f\equiv c$ y $f\not \equiv c$ , donde $c\in \Bbb R$ es una constante.
Para el segundo caso: por su definición tenemos que $|f(0)|\le \|f'\|_{\infty}$ entonces siempre es cierto que: $$1\le \frac {\|f\|_{1,\infty}}{|||f|||_2}$$ entonces podemos considerar $1\le c_2$ (ver definición arriba ), así que: $$1\le c_2\le c_2 \frac {\|f\|_{1,\infty}}{|||f|||_2}$$ Queremos: $$c_1 |||f|||_2 \le \|f\|_{1,\infty}\Rightarrow c_1 \frac {|||f|||_2}{\|f\|_{1,\infty}}\le 1$$ así que sólo tenemos que tomar $c_1=\frac 1{c_2}$ que siempre es no negativo.
Ahora, separo el caso cuando $f\equiv c$ porque en ese caso ocurre eso: $\|f\|_{1,\infty}=0 \Leftrightarrow f\equiv c$ y $|||f|||_2\Leftrightarrow f\equiv 0 $ pero a partir de aquí, no sé qué hacer para incluir este caso.

Answer 1

Como usted ha observado, $||f||_{2}\le||f||_{1}$ por cada $f$ en $C^{1}[0,1]$ para que pueda tomar $c_2=1$ .

Si $f$ en $C^{1}[0,1]$ tiene su máximo en 0, entonces $||f||_{\infty}=|f(0)|$ .

En caso contrario, si f tiene su máximo en $x\in(0,1]$ entonces $f(x)=f^{\prime}(c)x+f(0)$ para algunos $c\in(0,x)$ por el Teorema del Valor Medio; entonces $||f||_{\infty}=|f^{\prime}(c)x+f(0)|\le|f^{\prime}(c)||x|+|f(0)|\le||f^{\prime}||_{\infty}+|f(0)|$ .

Ahora puedes usar esto para encontrar una constante $k$ que satisface

$||f||_{1}=||f||_{\infty}+||f^{\prime}||_{\infty}\le k(|f(0)|+||f^{\prime}||_{\infty})=k||f||_{2}$ y, a continuación, deja que $c_1=\frac{1}{k}$ .