Corolario de la convergencia en la distribución

Question

¿Puedo decir que si $\xi_n \xrightarrow {d} \xi$ y $\xi_n, \xi$ son variables aleatorias no negativas con valor esperado finito, entonces $$\mathbb{E}\xi \le \lim{\inf{}_{n\to\infty}\mathbb{E}\xi_n}?$$ Tengo problemas para refutarlo o demostrarlo. ¿Puede alguien ayudarme? Se lo agradecería.

Answer 1

Utilizando el teorema de representación de Skorohod, existe un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ y las variables aleatorias $X_n,X$ en ese espacio, tal que $X_n\stackrel{d}= \xi_n$ , $X\stackrel{d}= \xi$ y $X_n\xrightarrow{\text{a.s.}} X$ . Concluya utilizando el lema de Fatou que $$E\xi =EX\le \liminf_n EX_n=\liminf_n E\xi_n.$$

Answer 2

Escribe cada expectativa como integral de la cola en la recta real positiva, y aplica el lema de Fatou a la recta real positiva (con medida de Lebesgue) y a la secuencia $f_n(t)=\mathbb P(X_n>t)$ .