Tema de la dualidad Isbell

Question

Dejemos que $C$ sea una categoría pequeña. La dualidad de Isbell proporciona una adición $\widehat{C} {{\mathcal{O} \atop \longrightarrow} \atop {\longleftarrow \atop \mathrm{Spec}}}\widehat{C^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}$ . Si he entendido bien, esta notación sugiere que $\widehat{C}$ consiste en objetos "geométricos", mientras que $\widehat{C^{\mathrm{op}}}$ consiste en objetos "algebraicos". Entonces $\mathcal{O}$ se asocia a algún objeto geométrico $X$ el objeto algebraico de todas las funciones globales sobre $X$ mientras que $\mathrm{Spec}$ se asocia a algún objeto algebraico $A$ el objeto geométrico "afín" asociado a $A$ . Tenga en cuenta tanto la unidad $\eta_X : X \to \mathrm{Spec}(\mathcal{O}(X))$ y el país $\varepsilon_A : A \to \mathcal{O}(\mathrm{Spec}(A))$ de esta unión están dadas por la evaluación. Como con toda adjunción, obtenemos una equivalencia de categorías entre sus puntos fijos, es decir, aquellos $X$ tal que $\eta_X$ es una iso, y los $A$ tal que $\varepsilon_A$ es un iso (objetos de Isbell-dual).

En general esta formulación no tiene sentido, pero es bien conocida en los siguientes casos especiales a los que también se alude en el nlab artículo.

1) Geometría algebraica: Existe una conjunción $\mathrm{Sch} {{\mathcal{O} \atop \longrightarrow} \atop {\longleftarrow \atop \mathrm{Spec}}} \mathrm{Ring}^{\mathrm{op}}$ . La unidad y el conditio son sólo evaluación. Se restringe a una antiequivalencia de categorías entre esquemas afines y anillos.

2) Análisis funcional: Hay una adición $\mathrm{Top} {{\mathcal{O} \atop \longrightarrow} \atop {\longleftarrow \atop \mathrm{Spec}}} {C^*\mathrm{Alg}_1}^{\mathrm{op}}$ . La unidad y el counit son de nuevo sólo evaluación. Se restringe a una antiequivalencia de categorías entre los espacios compactos de Hausdorff y los unitales conmutativos $C^*$ -algebras.

3) Topología sin puntos: Hay una adjunción $\mathrm{Top} {{\mathcal{\Omega} \atop \longrightarrow} \atop {\longleftarrow \atop \mathrm{Spec}}} \mathrm{Frm}^{\mathrm{op}} = \mathrm{Loc}$ , donde $\Omega$ asocia a un espacio topológico el marco de sus subconjuntos abiertos, y $\mathrm{Spec}$ asocia a cada local el espacio de ideales primos principales. Restringe a una equivalencia entre espacios sobrios y locales espaciales y está relacionada con la dualidad de Stone. Esto es muy, muy similar a 2), sólo sustituimos $\mathbb{C}$ con el orden parcial $2$ .

Pregunta. ¿Son estas adjunciones realmente casos especiales de la dualidad de Isbell? Si no es así, ¿cómo se relacionan? ¿Existe algún patrón más general?

También me interesa el caso de $(2,1)$ -categorías $C$ . Aquí $\widehat{C}$ debe ser la categoría de los pseudofunctores $C^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Gpd}$ . En este entorno existe una adición similar a la de 1) entre las pilas y las categorías tensoriales cocompletas, donde $\mathcal{O} = \mathrm{Qcoh}$ se asocia a cada pila $X$ la categoría de módulos cuasi-coherentes, que pueden imaginarse como funciones globales categorizadas sobre $X$ . Los puntos fijos son los tensorial pilas que estudio actualmente. ¿Dónde surge esta adición en la literatura? Es similar a una adjunción de la geometría algebraica derivada ( Ben-Zvi, Nadler Prop. 3.1).

Hay temas relacionados conversaciones entre Jim Dolan y Todd Trimble, que ya responden parcialmente a mis preguntas.

Answer 1

Esta parece ser una respuesta informal: Siempre que tengamos un objeto algebraico $\mathbb{A}$ de tipo $A$ en una categoría geométrica $G$ , obtenemos una adjunción: $\mathrm{O} := \mathrm{Hom}(-,\mathbb{A}) : G \to A^{op}$ es adjunto a la izquierda de $\mathrm{Spec} := \mathrm{Hom}(-,\mathbb{A}): A^{op} \to G$ donde este último hom-set está dotado de algún tipo de topología de Zariski. Las cuatro adjunciones de arriba son casos especiales:

1) Considera el objeto anillo $\mathbb{A}^1 := \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[x])$ en la categoría de esquemas.

2) Considere la $\mathbb{C}$ -objeto de álgebra $\mathbb{C}$ en la categoría de espacios Hausdorff localmente compactos.

3) Considere el espacio de Sierpinski $\{0,1\}$ como marco.

4) Considerar la categoría tensorial cocompleta de módulos cuasi-coherentes como una pila.