Prueba de $a \equiv b$ mod m => $a \equiv b$ mod $m'$ con $d \cdot m' = m$

Question

Dejemos que $a,b \in \mathbb{Z}$ y $m, m', d \in \mathbb{N}$ con $d \cdot m' = m$ .

¿Cómo puedo probar o refutar que

$a \equiv b$ mod m => $a \equiv b$ mod $m'$ ?

y

$a \equiv b$ mod $m'$ => $a \equiv b$ mod m

Para la primera afirmación, puedo decir, por ejemplo

$27 \equiv 7$ mod $10$ => $27 \equiv 7 $ mod $5$ y $27 \equiv 7$ mod $2$ ?

No entiendo muy bien, porque para la primera afirmación, es lo mismo como $a \equiv b$ mod m => $a \equiv b$ mod $\frac{m}{d}$ . Pero, ¿qué es realmente d?

Answer 1

La primera afirmación es cierta:

$$a \equiv b \bmod m \implies \\ a=mx+k, \space b=my+k\implies \\ a=m'dx+k, \space b=m'dy+k\implies \\ a=m'(dx)+k, \space b=m'(dy)+k\implies \\ a\equiv b \bmod m' $$

La segunda afirmación puede refutarse con un solo ejemplo:

Diga $m'=5$ , $d=2$ , $m=m'd=10$ , $a=12$ , $b=7$ :

Obviamente: $a\equiv b \bmod m'$ porque $12\equiv7\bmod 5$ . Pero no es cierto que $a\equiv b \bmod m$ porque $12\not\equiv 7\bmod 10$ .

Answer 2

Por definición $$a\equiv b \mod m \iff \exists k\in\mathbb{Z}: a = mk+b$$ Utilizando $$m = dm'$$ obtenemos $$a = dm'k+b = (dk)m'+b$$ donde $kd\in\mathbb{Z}$ y por lo tanto $$ a\equiv b \mod m'$$

Para la segunda afirmación, intenta encontrar un contraejemplo (en realidad, hay muchos).