El axioma de elección, que equivale al Lemma de Zorn, tiene una bonita "traducción" categórica: en la categoría de conjuntos, todo epi es un repliegue.
Así que el axioma de elección dice algo sobre la estructura de la categoría de conjuntos.
¿Puede el lema de Zorn traducirse con la misma sencillez al lenguaje categórico? Por ejemplo, ¿dice el lema de Zorn algo sobre la categoría de los posets (y las funciones que preservan el orden) u otra categoría bien conocida?
Puede que esto no sea exactamente lo que estás buscando, pero, dado que cualquier poset puede convertirse en una categoría haciendo que los elementos del poset sean los objetos de la categoría y haciendo exactamente un morfismo $a\rightarrow b$ si $a\le b$ y ninguna en caso contrario, podemos convertir el lema de Zorn en una afirmación sobre categorías.
He aquí una traducción del lema de Zorn al lenguaje categórico, utilizando esta correspondencia:
Si $\mathcal{C}$ es un poset y, para cualquier conjunto totalmente ordenado $\mathcal{I}$ y el functor $F: \mathcal{I} \mapsto \mathcal{C}$ , $F$ tiene un
colimitcocone, entonces hay un objeto en $\mathcal{C}$ cuyos únicos morfismos hacia el exterior son isomorfismos.
No se puede utilizar la noción categórica más estándar de objeto final, porque el lema de Zorn sólo garantiza la existencia de un objeto máximo, no de un objeto máximo. (Gracias a Zhen Lin por señalarlo).
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