Resolución de un sistema lineal de EDOs con valores propios repetidos pero vectores propios distintos.

Question

Supongamos que tengo un sistema lineal de EDOs dado por el sistema

$$\dot{\vec{x}}= A\vec{x}$$ donde $A$ es un $(n\times n)$ matriz y $\vec{x}$ es un $(n\times 1)$ vector de columnas.

Supongamos ahora que la matriz A se ha repetido valores propios pero tiene $n$ distintos linealmente independientes vectores propios . ¿Existe una forma sencilla de resolver el sistema?

El siguiente enlace (a wolfram alpha) muestra un $(6\times 6)$ matriz donde este es el caso.
Vea aquí un ejemplo de una matriz en la que ocurre esto .

Sé que si hay $n$ valores propios distintos $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$ la solución general viene dada por $$\vec{x} = \big(c_1 v_1 e^{\lambda_1t}+\ldots+c_nv_ne^{\lambda_n t}\big)$$

donde $v_i$ es el correspondiente vector propio de $\lambda_i$ y $c_i$ es una constante.

Además, sé qué hacer cuando hay repetido valores propios, con los correspondientes repetido vectores propios.

¿Existe una forma similar de resolver el sistema con valores propios repetidos pero vectores propios distintos?

Gracias.

Answer 1

Si hay $n$ vectores propios, entonces la matriz es diagonalizable y su fórmula para los valores propios distintos también se aplica a este caso.

Cuando se transforma una ecuación lineal escalar con coeficientes constantes en un sistema de primer orden, este caso, bloques de Jordan separados para el mismo valor propio, nunca se da. Como estos son los ejemplos típicos de los libros de texto para los valores propios repetidos, esto quizás origina tu duda.