Supongamos que $M$ es un $2n-$ dimensional diferenciable. Sea $(U_{i})$ sea una cobertura abierta de $M$ . Con respecto a esta cobertura, dejemos $\rho_{i}$ sea una partición de la unidad. Supongamos que en cada $U_{i}$ tenemos una forma simpléctica $\omega_{i}$ . Es entonces $\omega := \sum_{i} \rho_{i} \omega_{i}$ ¿una forma simpléctica? Si no, ¿qué condición sobre las funciones $\rho_{i}$ debe ser, para que $\omega$ ¿es simpléctica?
Respuestas
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Suponga que está en $\mathbb{R}^{2n}$ y dotarla de una forma simpléctica $\omega$ . Sea $U_1 = \{x_1>-\varepsilon\}$ y $U_2=\{x_1<\varepsilon\}$ con dos formas simplécticas $\omega_1 = \omega|_{U_1}$ , $\omega_2=-\omega|_{U_2}$ . Tenga en cuenta que si $n$ es par, el $\omega_i$ inducen la misma orientación en la superposición de $U_1$ y $U_2$ .
Ahora, por el teorema del valor intermedio, para cualquier partición de la unidad $\{\rho_1, \rho_2\}$ subordinado a nuestra cubierta, hay un punto en el que la forma $\rho_1\omega_1 + \rho_2\omega_2$ desaparece.
Así que, en general, es necesario tener algunas condiciones de compatibilidad para el $\omega_i$ en las intersecciones del $U_i$ 's, de lo contrario no hay esperanza.
Daniel Pomerleano
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1826
Esto era demasiado largo para un comentario--Una forma conceptual de entender esto es decir que para un haz vectorial definido usando Parcheando, las funciones de transición viven en GL(n,R). GL(n,R) es homotópicamente equivalente a O(n) por descomposición polar, por lo que siempre se puede definir una métrica riemmaniana (Desde este punto de puedes imaginar un haz vectorial definido en $X\times I$ y deformando sus funciones de transición por la equivalencia homotópica anterior). La restricción a cada extremo debe ser isomorfa por un teorema bien conocido.
Por otra parte, el grupo simpléctico no es equivalente en homotopía a GL(n,R) y, por lo tanto, existen obstáculos para dar a su haz tangente la estructura de un haz vectorial simpléctico o, de forma equivalente, para dar a su colector una forma simpléctica. $S^4$ por ejemplo, no es una variedad simpléctica por una sencilla razón. Si $\omega$ fuera su forma simpléctica sería necesariamente exacta. Pero para cualquier forma simpléctica hipotética sobre $S^4$ , $\omega\wedge\omega$ sería una forma de volumen, así que no hay dados.
beggs
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351
Desarrollaría un poco la observación de Spiro Karigiannis sobre la obstrucción topológica para que una variedad tenga una estructura simpléctica.
Dos primeras condiciones necesarias aproximadas para la existencia son: que la variedad sea par y orientable.
Aparte de esto, también tenemos el condición del anillo de cohomología :
Si un compacto conectado $2n$ -de las dimensiones de la colmena $M$ tiene una estructura simpléctica, entonces existe $u\in H_{dR}^2(M)$ tal que $u^k\neq 0\in H_{dR}^{2k}(M)$ para $k=1,\ldots,n$ y en particular $H_{dR}^{2k}(M)\neq 0$ para $k=1,\ldots,n$ .
Prueba . Basta con establecer que, para cualquier forma simpléctica $\omega$ en $M$ tenemos $[\omega]^n=[\omega^n]\neq 0$ . Debido a la noegeneración de $\omega$ tenemos que $\omega^n$ es una forma de volumen, por lo que su integral sobre $M$ no es cero y por lo tanto $[\omega^n]\neq 0$ .
Esta condición y el cómputo $H_{dR}^{2}(S^{2n})=0$ para cualquier $n>1$ implican la inexistencia de estructuras simplécticas en $S^{2n}$ para todos $n>1$ .
