¿Cómo puede ser uniforme la temperatura en una columna de gas, si la energía cinética aumenta cuando las moléculas del gas bajan?

Question

No puedo entender la paradoja de un supuesto gradiente de temperatura frente a un gradiente de energía total para el equilibrio termodinámico de un gas (espacio abierto) en un campo gravitatorio.

Para simplificar, consideremos un gas ideal monoatómico como el argón ideal. Se supone que el gradiente de temperatura es cero en el equilibrio. Pero, ¿cómo tratar la energía total constante y la energía cinética dependiente de la altitud de las moléculas entre colisiones con proyección de velocidad vertical no nula?

$$\frac{d(E_\mathrm{k} + E_\mathrm{p})}{\mathrm{d}h} = \frac{\mathrm{d}(\frac 12 mv^2 + mgh)}{\mathrm{d}h} = 0$$

Con intercambio reversible $E_\mathrm{k}$ y $E_\mathrm{p}$ y para los medios estadísticos, debería ser como

$$\frac{\mathrm{d}(\frac 32k_\mathrm{B}T + mgh)}{\mathrm{d}h}=0$$

En caso de gradiente de temperatura cero, ¿cómo es que las moléculas descendentes no convierten su energía potencial en cinética e inyectan energía térmica a las capas inferiores (y viceversa)? ¿Cómo es que no se produce un gradiente de temperatura hasta que el gradiente de energía molecular media total es cero?

Me parece que me estoy perdiendo algo y que el gradiente de densidad compensa de alguna manera el efecto del gradiente de energía molecular en el gradiente de temperatura cero, pero no veo cómo.

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Un análisis detallado de la teoría cinética está muy probablemente por encima de mis capacidades. He discutido en los chats en ambos sitios CH y PH SE en:

CH SE: densidad-gradiente-vs-entropía-de-mezcla
chat discusión-entre-poutnik-y-teórico

y

PH SE: cuál es la razón de la dt-dh-0 en la columna de gas
chat discusión-entre-poutnik-y-giorgiop

También he buscado en site:stackexchange.com preguntas y respuestas relacionadas con el equilibrio de los gases y el campo gravitatorio, pero no he encontrado ningún tema que lo aborde, a menos que me lo haya perdido.

PH Se: en-un-campo-gravitacional-la-temperatura-de-un-gas-ideal-será-más-baja considera la atmopsfera de la Tierra, que no está en equilibrio (tengo formación meteorológica de mis días de meteorólogo de aeródromo alistado, así que soy consciente del gradiente radiabático seco 0,0098 K/m.)

Answer 1

En el equilibrio, no hay gradiente de temperatura, ni gradiente de energía cinética, ni transferencia de calor. Pero como la mayoría de los resultados de la teoría cinética, es poco intuitivo a menos que se siga en detalle lo que hace cada partícula.

Primero, expliquemos por qué no hay un gradiente de energía cinética. Piensa en las partículas que empiezan abajo y terminan arriba. Dado que subir cuesta energía, ¿no significa que las partículas que terminan arriba deberían moverse más lentamente? No, porque las partículas que originalmente se movían lentamente no tienen suficiente energía para subir. Las únicas partículas que suben son las que obtuvieron una energía cinética inusualmente alta a través de una colisión afortunada. A medida que suben, pierden esa energía cinética extra en energía potencial, llegando a la cima con la cantidad típica de energía cinética.

(Por supuesto, en la realidad hay alguna distribución de energías cinéticas, pero esta lógica se mantiene para cada parte de la distribución. Supongamos que tenemos una mezcla de partículas con energía cinética $0$ , $1$ , $2$ , $3$ ...en el fondo. Las partículas con energía cinética $0$ no lo inventan. Las partículas con energía cinética $1$ llegan con energía cinética $0$ . Si se trabaja cuantitativamente, se termina con exactamente la misma distribución).

En segundo lugar, vamos a explicar por qué no hay flujo de calor. La cuestión es que la densidad en cada nivel se mantiene igual en el equilibrio. Las partículas que caen del nivel "alto" al "bajo" recogen mucha energía cinética, por lo que llegan al nivel "bajo" con más energía cinética que la mayoría de las partículas que ya están allí. Pero al mismo tiempo, las partículas abandonan el nivel "bajo" para subir al nivel "alto", y como acabamos de argumentar, las únicas partículas que pueden hacerlo son las más energéticas. Así que en el equilibrio, predominan las partículas con una energía total inusualmente alta que van en cada dirección, pero como el flujo de partículas se equilibra, no hay un flujo de calor neto de arriba a abajo.

Por cierto, como sospechabas, la existencia de un gradiente de densidad es esencial para mantener el equilibrio. Eso es porque todas las partículas del nivel alto pueden caer al nivel bajo, pero sólo las partículas de mayor energía del nivel bajo pueden subir al nivel alto. Para que las tasas se equilibren, es necesario que haya más partículas en el nivel bajo, que es precisamente lo que ocurre en el equilibrio.

Answer 2

Demasiado largo para un comentario:

Dado que he discutido ampliamente este tema con Poutnik, he pensado que podría ser útil ofrecer este resumen de su pregunta para otros lectores (por supuesto, él puede corregirme si cree que me he equivocado).

Según entiendo, está diciendo esencialmente esto:

Imagina que tienes una columna de gas en un recipiente en equilibrio térmico. A medida que las partículas de gas se mueven hacia el fondo, pierden PE gravitacional, y por tanto deben ganar KE. A la inversa, las que se mueven hacia arriba ganan PE gravitatorio y, por tanto, deben perder KE. Llega a la conclusión de que, si existe un campo gravitatorio, una columna de aire en un recipiente en equilibrio térmico tendrá un gradiente térmico vertical permanente (más caliente en la parte inferior, más frío en la superior) porque la velocidad media de las moléculas de gas disminuye con la altura.

Le he dicho a Poutnik que no creo que sea posible un gradiente térmico permanente en un sistema en equilibrio, porque llevaría a una violación de la 2ª ley: Si tuviéramos un extremo caliente permanente y un extremo frío permanente, y sumergiéramos el recipiente en un baño de calor de temperatura uniforme*, el calor fluiría continuamente desde el extremo caliente hacia el baño, y desde el baño hacia el extremo frío. Se podrían utilizar ambos flujos de calor para realizar trabajo. De este modo, tendríamos una máquina de movimiento perpetuo del segundo tipo.

[*Se podría hacer el baño de calor de un material sólido, para excluir la posibilidad de que el baño de calor tenga también un gradiente térmico].

Así que en su lugar veo esto como un demonio de Maxwell https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_demon ). El demonio de Maxwell es un bonito experimento mental, ya que crea una paradoja para la que sabes que debe haber alguna resolución, ya que la 2ª ley no puede ser violada. El argumento de Pounik también parece crear una bonita paradoja para la que debe haber alguna resolución, y por la misma razón: que la 2ª ley no puede ser violada.

Sospecho que la resolución es que las moléculas de gas que ascienden y descienden redistribuyen sus KE a medida que ascienden y descienden, evitando así que se forme un gradiente térmico. Pero creo que Poutnik busca una demostración más formal de esto.

Answer 3

La temperatura es un coeficiente en la distribución de Boltzmann (canónica): $$p(p,q)\propto e^{-\frac{H(p,q)}{k_B T}}.$$ De ello se desprende que es la energía media por grado de libertad (véase Teorema de la equiparación ) es decir, para cada átomo de un gas monoatómico esperamos $$\langle K\rangle + \langle V\rangle=\left\langle\frac{m\mathbf{v}^2}{2}\right\rangle + mg\langle z\rangle=\frac{3k_B T}{2}.$$

En caso de gradiente de temperatura cero, ¿cómo es que las moléculas descendentes no convierten su energía potencial en cinética e inyectan energía térmica a las capas inferiores (y viceversa)? ¿Cómo es que no se produce un gradiente de temperatura hasta que el gradiente de energía molecular media total es cero?

El razonamiento aquí parece implicar que la temperatura es energía cinética media de un átomo en lugar de su energía total media. Esto no es así: a medida que los átomos descienden o ascienden, su energía cinética cambia, pero su energía total media sigue siendo la misma, por lo que no hay que hablar de gradiente de temperatura.

Observación: La existencia de un gradiente de temperatura también significaría que el sistema no está en equilibrio y no puede ser descrito por la distribución de Boltzmann y otras herramientas de la termodinámica y la física estadística.