Un análisis complejo problema de probar una desigualdad

Question

$\textbf{Problem.}$ Supongamos $f$ es un holomorphic de la función en $\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$, al abrir la unidad de disco, con la propiedad de que la Re$f(z)>0$ por cada punto de $z$ en el disco. Demostrar que $|f'(0)|\leq 2\text{Re}f(0)$.

Este es un problema que apareció en un examen de calificación en algunos de la escuela de posgrado. Lo que he intentado es, definir $\displaystyle\varphi(z)=\frac{z-1}{z+1}$, luego se envía al abrir mitad derecha del plano en el abierto de la unidad de disco, así que vamos a $\hat{f}=\varphi\circ f(z)$, entonces su imagen se encuentra en el abierto de la unidad de disco. Y yo quería usar el lema de Schwarz, pero, a continuación, el origen debe ser fijo, por lo definen $\displaystyle\psi(z)=\frac{\hat{f}(0)-z}{1-\overline{\hat{f}(0)}z}$ y deje $\tilde{f}=\psi\circ\hat{f}$, entonces la imagen de este aún está contenida en el abierto de la unidad de disco y corrige el origen por lo que el lema de Schwarz $|(\tilde{f})'(0)|\leq 1$ podría ser aplicado. Pero después de todo el cálculo, tengo $$|f'(0)|\leq\frac{|f(0)+\overline{f(0)}+2|f(0)|^{2}|^{2}}{2|f(0)+1|^{2}|f(0)|}$$ pero, por ejemplo, si la magnitud de la parte imaginaria de $f(0)$ es bastante más grande que la magnitud de la parte real de la $f(0)$, en ese caso no es el resultado deseado de la desigualdad, pero en realidad significa que el deseado desigualdad está mal lugar. También pensé en componer cualquier otra función diferente a la RHS de $\hat{f}$ y usar el lema de Schwarz pero no parece funcionar.

Tal vez debería intentar algo más, pero lo que podría ser juzgado en su lugar?

Answer 1

Deje $w=f(0)$, y considerar el mapa de $\phi(z)=\frac{z-w}{z+\overline{w}}$. Desde $-\overline{w}$ tiene la misma parte imaginaria como $w$ y se encuentra en la mitad izquierda del plano -, $\phi$ mapas de $\{z:\Re z>0\}$ en la unidad de disco, con $\phi(w)=0$.

Por lo tanto, si $g(z)=\phi(f(z))$, $g$ mapas de la unidad de disco en sí mismo, con $g(0)=0$. Por lo tanto, $|g^{\prime}(0)|\leq 1$ por el lema de Schwarz.

Sin embargo, $g^{\prime}(0)=\phi^{\prime}(w)f^{\prime}(0)$ $$\phi^{\prime}(z)=\frac{z+\overline{w}-(z-w)}{(z+\overline{w})^2}=\frac{2\Re w}{(z+\overline{w})^2}$$ por lo tanto $\phi^{\prime}(w)=\frac{2\Re w}{(2\Re w)^2}=\frac{1}{2\Re w}$. Por lo tanto, $|g^{\prime}(0)|\leq 1$ implica que el $|f^{\prime}(0)|\leq |2\Re w|=2\Re(f(0))$.