¿Qué resultados geométricos algebraicos "conocidos" no se cumplen en la característica 2?

Question

A suave curva $X$ en $\mathbb{P}^n$ es extraño si hay un punto $p$ que se encuentra en todas las líneas tangentes de $X$ .

Los ejemplos son $\mathbb{P}^1$ es extraño y también lo es $y=x^2$ en la característica $2$ . De hecho, son todos (véase Hartshorne IV.3.9).

Por esta razón, en cualquier característica no utilizamos líneas para obtener incrustaciones en el espacio proyectivo.

Pero esto tiene consecuencias. Muchos teoremas clásicos de la geometría algebraica no utilizan "métodos trascendentales", es decir, el único resultado que utilizan es que el campo base es algebraicamente cerrado, por lo que se pueden aplicar en característica finita. ¿O no pueden?

Aquí es donde la característica $2$ desglosa los resultados estándar. Por ejemplo, al incrustar ampliaciones de $\mathbb{P}^2$ en $\mathbb{P^n}$ utilizamos sistemas lineales de cónicas y cúbicas en $\mathbb{P}^2$ para separar los puntos, pero esto no es posible en la característica $2$ (echa un vistazo a Beauville IV.4 si no sabes cómo los sistemas lineales pueden incrustar espacios). Esto significa que en la característica 2 no podemos interpretar las superficies cúbicas ni $\mathbb{P}^3$ en términos de expansiones del plano proyectivo en 6 puntos en posición general y viceversa.

OK, suficiente introducción. Mi pregunta es: "¿Existen otros ejemplos de resultados que no se apliquen en la característica 2 debido a otras razones que no impliquen incrustaciones en el espacio proyectivo?"

Por ejemplo, sé que los teoremas de fuga no son válidos en la característica p en general, pero estoy buscando patologías para algunas características finitas, pero no todas (normalmente 2 o 3).

Sospecho que "probablemente sí, pero no muchos", ya que no se me ocurre ninguno, pero si resulta que hay muchos, quizá haga de esta pregunta la wiki de la comunidad.

Answer 1

• En las características 2 y 3 existen fibrados cuasi-elípticos, es decir, una superficie proyectiva lisa S junto con un morfismo a una curva proyectiva lisa C tal que cada fibra es una curva racional cuspidal.

• El límite de Hurwitz para el orden máximo del grupo de automorfismo de una curva proyectiva suave de género al menos 2 no se cumple en ninguna característica positiva.

• En la característica 2 existen superficies uniracionales que no son racionales.

Para los dos primeros se utiliza en char 0 en algún momento que si $f(x)$ es un polinomio en $x$ y $f'(x)$ es cero, entonces el grado de $f$ es cero. Para construir ejemplos reales de curvas tales que el grupo de automorfismo tiene más de 84(g-1) elementos se utiliza la existencia de Frobenius. Para el tercer ejemplo se puede argumentar que la prueba de la característica cero utiliza métodos trascendentales.

Answer 2

Las características Theta de las curvas algebraicas se comportan de forma diferente en la característica dos, básicamente porque están estrechamente relacionadas con la torsión dos en el jacobiano.

Answer 3

Acabo de darme cuenta de que nadie ha mencionado la desaparición de Kodaira. Por supuesto que no es particular de char $2$ y hay versiones que funcionan, pero la declaración original falla en char $p$ .

Answer 4

Probablemente hay más resultados que simplemente no se conocen en la característica 2. Soy culpable de no decidir algunos resultados en ese caso, como el trabajo Comp.Math. 1990. pp.367 y ss. Si no recuerdo mal en este caso se trataba de no tener una serie de Taylor en grado dos, porque no podíamos dividir por 2. Pido disculpas, pero después de todo ese trabajo, me conformé con un resultado válido en todas las características ≥ 3.

Answer 5

Si $E$ es una curva elíptica sobre un campo finito $k$ de la característica $p>3$ entonces el grupo homomorfismo ${\rm Aut}_k(E)\rightarrow k^*$ enviando un automorfismo de $E$ a su efecto en el espacio tangente en $O_E$ es inyectiva.

Esto puede verse (con bastante facilidad) utilizando que el mapa de grados $d:{\rm End}_k(E)\rightarrow \mathbf{Z}$ es una forma cuadrática definida positiva (para una definición precisa ver Silverman p. 88), por lo que satisface $d(a+b)\leq d(a)+d(b)+2\sqrt{d(a)d(b)}$ para todos $a,b\in {\rm End}_k(E)$ .

Si ahora $u\in {\rm Aut}_k(E)$ actúa como la identidad en el espacio tangente en $O_E$ entonces el endomorfismo $1-u$ es cero o es una isogenia inseparable. En ambos casos $p$ divide $d(1-u)$ . Configurar $a=1$ , $b=u$ en la desigualdad anterior vemos que $d(1-u)\leq 4$ y por lo tanto $d(1-u)=0$ y $u=1$ (ya que $p>3$ ).

En el carbón $2$ y $3$ existen curvas elípticas con grupos de automorfismo que no son cíclicos (ni siquiera abelianos), por lo que no se pueden incrustar en $k^*$ . Este diferente comportamiento de los primos $2$ y $3$ se debe quizás al hecho de que son "arquimédicamente" pequeños.