¿Qué resultados geométricos algebraicos "conocidos" no se cumplen en la característica 2?

Question

A suave curva $X$ en $\mathbb{P}^n$ es extraño si hay un punto $p$ que se encuentra en todas las líneas tangentes de $X$ .

Los ejemplos son $\mathbb{P}^1$ es extraño y también lo es $y=x^2$ en la característica $2$ . De hecho, son todos (véase Hartshorne IV.3.9).

Por esta razón, en cualquier característica no utilizamos líneas para obtener incrustaciones en el espacio proyectivo.

Pero esto tiene consecuencias. Muchos teoremas clásicos de la geometría algebraica no utilizan "métodos trascendentales", es decir, el único resultado que utilizan es que el campo base es algebraicamente cerrado, por lo que se pueden aplicar en característica finita. ¿O no pueden?

Aquí es donde la característica $2$ desglosa los resultados estándar. Por ejemplo, al incrustar ampliaciones de $\mathbb{P}^2$ en $\mathbb{P^n}$ utilizamos sistemas lineales de cónicas y cúbicas en $\mathbb{P}^2$ para separar los puntos, pero esto no es posible en la característica $2$ (echa un vistazo a Beauville IV.4 si no sabes cómo los sistemas lineales pueden incrustar espacios). Esto significa que en la característica 2 no podemos interpretar las superficies cúbicas ni $\mathbb{P}^3$ en términos de expansiones del plano proyectivo en 6 puntos en posición general y viceversa.

OK, suficiente introducción. Mi pregunta es: "¿Existen otros ejemplos de resultados que no se apliquen en la característica 2 debido a otras razones que no impliquen incrustaciones en el espacio proyectivo?"

Por ejemplo, sé que los teoremas de fuga no son válidos en la característica p en general, pero estoy buscando patologías para algunas características finitas, pero no todas (normalmente 2 o 3).

Sospecho que "probablemente sí, pero no muchos", ya que no se me ocurre ninguno, pero si resulta que hay muchos, quizá haga de esta pregunta la wiki de la comunidad.

Answer 1

No voy a añadir ningún ejemplo nuevo, sino a sugerir una forma sistemática de ver los ejemplos. Si se observan los fenómenos especiales en las características $2$ se pueden clasificar de la siguiente manera (aunque esta división no está nada clara):

1. Son realmente especiales a la característica positiva y no sólo característica $2$ .
2. Siguen siendo fenómenos característicos realmente positivos, pero sólo aparecen para algunas invariantes numéricas que dependen de $p$ (que normalmente aumenta con $p$ ) y como $2$ es el primo más pequeño que aparece "antes" en la característica $2$ y por lo tanto se encuentran allí primero.
3. Son realmente especial a la característica $2$ .

Algunos ejemplos y su clasificación:

1. Aquí se puede observar el fracaso de las versiones fuertes de Bertini, por ejemplo, un sistema lineal libre de puntos base todos cuyos miembros son singulares (tomar el $p$ de un sistema lineal muy amplio). Esto es uniforme en $p$ (aunque si se empieza con un sistema amplio y libre característico, el grado crecerá como $p$ crece, por lo que en ese sentido también podría clasificarse en el apartado 2).

2. La existencia de fibraciones cuasi-elípticas en la característica $2$ (y $3$ ) es un ejemplo ya que el mismo fenómeno de una curva regular pero no lisa sobre un campo no perfecto existe en todas las características positivas. Sin embargo, por un resultado de Tate el género de tal ejemplo está limitado desde abajo por una función lineal de $p$ por lo que aparecen cada vez más tarde. Sin embargo, existe una complicación adicional, ya que el caso cuasi-elíptico es de dimensión Kodaira $0$ que hace que $2$ y $3$ especial ya que todos los demás ejemplos son de tipo general. Esto da un ejemplo de superposición entre 2) y 3).

   Otro ejemplo es el de las superficies de Enriques. Por un lado, la construcción de Godeaux da ejemplos de superficies lisas cuyo esquema de grupo fundamental es cualquier esquema de grupo de orden $p$ con varias invariantes numéricas que dependen de $p$ . Sin embargo, sólo en las características $2$ (y $3$ creo) es de la dimensión de Kodaira $0$ .

3. En este caso, los ejemplos que me vienen a la mente están relacionados de alguna manera con las formas cuadráticas. Ellas mismas, por supuesto, se comportan de forma diferente en la característica $2$ (incluso puramente geométrico) como el grupo ortogonal. Sin embargo, su influencia va más allá, por ejemplo, que las características theta se comportan de manera diferente en la característica $2$ puede remontarse a las formas cuadráticas.

Apéndice : Para comprobar mi afirmación, he revisado las respuestas dadas hasta ahora y he intentado clasificarlas según lo indicado anteriormente. La mayoría de ellas ya se han mencionado anteriormente, pero dos no. Primero está el comentario de Jeremy sobre la torsión en $1+p\mathbb Z_p$ que a primera vista pertenece a la categoría 3). Sin embargo, está claramente relacionado con $p$ -radio de convergencia de las series logarítmicas y exponenciales y ese radio crece como $p$ crece. Por lo tanto, para los anillos absolutamente ramificados se puede obtener el mismo fenómeno en todas las características, lo que es especial con $2$ es que ocurre en lo absolutamente no ramificado. Nótese también que aunque la consecuencia mencionada por Jeremy es más aritmética que algebro-geométrica hay consecuencias de este último tipo. Ciertamente, las de característica mixta, como la estructura de los esquemas de grupos finitos, pero también para cuestiones cristalinas (técnicamente la estructura de potencia dividida en $2\mathbb Z_2$ no es nilpotente).

El ejemplo de Sándor del fracaso de la desaparición de Kodaira es en su mayoría del tipo 1) pero los ejemplos suelen tener $p$ como parámetro en caracteres numéricos, lo que lo hace en parte de tipo 2). Incluso existe el hecho de que hay algunas superficies mínimas de tipo general en la característica $2$ (pero en ninguna otra característica) para la que $H^1(X,\omega_X^{-1})\ne 0$ que técnicamente es de tipo 3).

Answer 2

En la característica 2 (y 3) muchos resultados conocidos sobre las curvas elípticas son falsos (normalmente no son esencialmente falsos, sino bastante diferentes). Por ejemplo, la ecuación de Weierstrass es más complicada.

En el libro de Silverman "The arithmetic of elliptic curves" hay todo un apéndice dedicado a este tema.

Answer 3

En todas las características diferentes de $2$ existe una sola familia de superficies de Enriques, obtenida por el cociente de una superficie lisa $K3$ superficie por una involución libre de punto base.

En la característica $2$ Sin embargo, hay algunas familias nuevas de superficies Enriques, a veces llamadas superficies cuasi Enriques o superficies Enriques no clásicas o Superficies (super)singulares de Enriques .

Esto se debe a que en la característica $2$ se puede considerar no sólo $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$ sino también los esquemas de grupo $\alpha_2$ y $\mu_2$ .

Ver este enlace o el libro de Cossec y Dolgachev "Enriques surfaces" para más detalles.

Answer 4

El teorema de Bertini dice que en la característica $0$ un miembro general de un sistema lineal libre de punto base en una variedad suave es suave. Serre dio un ejemplo (véase [Hartshorne, Ex.III.10.7] de un sistema lineal con singularidades móviles en la característica $2$ .

Answer 5

El grupo multiplicativo $1+p\mathbb{Z}_p$ es libre de torsión para todo $p>2$ pero no para $p=2$ .

Esto, por ejemplo, hace que $p=2$ para requerir un tratamiento especial en toda la teoría de Iwasawa.