¿Cuál es la probabilidad de que esta persona sea mujer?

Question

Hay una persona detrás de una cortina - no sé si la persona es femenina o masculina.

Sé que la persona tiene el pelo largo, y que el 90% de las personas con pelo largo son mujeres

Sé que la persona tiene un tipo de sangre raro, AX3, y que el 80% de las personas con este tipo de sangre son mujeres.

¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mujer?

NOTA: esta formulación original se ha ampliado con dos supuestos más: 1. El grupo sanguíneo y la longitud del cabello son independientes 2. La proporción hombre:mujer en la población en general es 50:50

(El escenario específico aquí no es tan relevante - más bien, tengo un proyecto urgente que requiere que me ponga a pensar en el enfoque correcto para responder a esto. Mi intuición es que se trata de una cuestión de simple probabilidad, con una respuesta definitiva sencilla, en lugar de algo con múltiples respuestas discutibles según diferentes teorías estadísticas).

Answer 1

Ahora creo que, si asumimos una proporción de hombres y mujeres en la población en general, hay una única respuesta indiscutible.

A = el caso de que la persona tenga el pelo largo

B = el caso de que la persona tenga el tipo de sangre AX3

C = el caso de que la persona sea mujer

P(C|A) = 0,9

P(C|B) = 0,8

P(C) = 0,5 (es decir, supongamos una proporción igual de hombres y mujeres en la población en general)

Entonces P(C|A y B) = [P(C|A) x P(C|B) / P(C)] / [[P(C|A) x P(C|B) / P(C)] + [[1-P(C|A)] x [1-P(C|B)] / [1-P(C)]]

en este caso, P(C|A y B) = 0,972973

Answer 2

Nota: Para obtener una respuesta definitiva, las respuestas siguientes suponen que la probabilidad de que una persona, un hombre de pelo largo y una mujer de pelo largo tengan AX3 es aproximadamente la misma. Si se desea una mayor exactitud, deberá verificarse este dato.

Empiezas sabiendo que la persona tiene el pelo largo, así que en este punto las probabilidades son:

90:10

Nota: La proporción de hombres y mujeres en la población general no nos importa una vez que descubrimos que la persona tiene el pelo largo. Por ejemplo, si hubiera una mujer entre cien en la población general, una persona de pelo largo elegida al azar seguiría siendo una mujer el 90% de las veces. ¡La proporción entre hembras y machos SÍ importa! (véase la actualización más abajo para más detalles)

A continuación, nos enteramos de que la persona tiene AX3. Como AX3 no está relacionado con el pelo largo, se sabe que la proporción entre hombres y mujeres es de 50:50, y debido a nuestra suposición de que las probabilidades son las mismas, podemos simplemente multiplicar cada lado de la probabilidad y normalizarla para que la suma de los lados de la probabilidad sea igual a 100:

(90:10) * (80:20)
==> 7200:200

    Normalize by dividing each side by (7200+200)/100 = 74

==> 7200/74:200/74
==> 97.297.. : 2.702..

Por tanto, la probabilidad de que la persona que está detrás de la cortina sea una mujer es de aproximadamente el 97,297%.

ACTUALIZACIÓN

He aquí una exploración más del problema:

Definiciones:

f - number of females
m - number of males
fl - number of females with long hair
ml - number of males with long hair
fx - number of females with AX3
mx - number of males with AX3
flx - number of females with long hair and AX3
mlx - number of males with long hair and AX3
pfl - probability that a female has long hair
pml - probability that a male has long hair
pfx - probability that a female has AX3
pmx - probability that a male has AX3

En primer lugar, se nos da que el 90% de las personas de pelo largo son mujeres, y el 80% de las personas con AX3 son mujeres, así que:

fl = 9 * ml
pfl = fl / f
pml = ml / m 
    = fl / (9 * m)

fx = 4 * mx
pfx = fx / f
pmx = mx / m 
    = fx / (4 * m)

Dado que asumimos que la probabilidad de AX3 es independiente del sexo y del pelo largo, nuestra pfx calculada se aplicará a las mujeres con pelo largo, y pmx se aplicará a los hombres con pelo largo para encontrar el número de ellos que probablemente tengan AX3:

flx = fl * pfx 
    = fl * (fx / f) 
    = (fl * fx) / f
mlx = ml * pmx 
    = (fl / 9) * (fx / (4 * m)) 
    = (fl * fx) / (36 * m)

Por lo tanto, la relación probable entre el número de hembras con pelo largo y AX3 y el número de machos con pelo largo y AX3 es:

flx             :   mlx
(fl * fx) / f   :   (fl * fx) / (36 * m)
1/f             :   1 / (36m)
36m             :   f

Como se da que hay un número igual de 50:50, se pueden cancelar ambos lados y terminar con 36 mujeres por cada hombre. De lo contrario, hay 36*m/f mujeres por cada hombre en el subgrupo especificado. Por ejemplo, si hubiera el doble de mujeres que de hombres, habría 72 mujeres por cada hombre de los que tienen pelo largo y AX3.

Answer 3

98% Mujer, interpolación simple. La primera premisa 90% mujer, deja el 10%, la segunda premisa sólo deja el 2% del 10% existente, por lo tanto 98% mujer