Suprema e infima de las medidas

Question

Dejemos que $(E,\mathcal E)$ sea un espacio medible y $(\mu_i)_{i\in I}$ sea una familia de medidas. Dejemos:

$$\sup_{i\in I} \mu_i : \mathcal E \to [0\, ..\infty], A \mapsto \sup_{i\in I} \mu_i(A)$$

$$\inf_{i\in I} \mu_i : \mathcal E \to [0\, ..\infty], A \mapsto \inf_{i\in I} \mu_i(A)$$

Es $\sup_{i\in I} \mu_i $ / $\inf_{i\in I} \mu_i $ ¿una medida? Si no es así, en general, ¿qué pasa si $I = \mathbb{N}$ y/o requerimos el $\mu_i$ para ser localizable, $\sigma$ -finito o finito? Si no es así, ¿hay otras formas de definir los supremos e infimos en el entramado de medidas (que satisfagan alguna propiedad)?

Answer 1

Para una colección general $\mathcal C=\{\mu_i:i\in I\}$ Primer plano $\mathcal C$ bajo la formación de máximos finitos. Es decir, definir $\mathcal D:=\{\max(\mu_i:i\in A): A\subset I, A$ finito $\}$ . Ahora defina $\mu(A):=\sup\{\nu(A): \nu\in\mathcal D\}$ (setwise supremum). Es un ejercicio sencillo demostrar que $\mu$ es contablemente aditivo, y entonces que $\mu$ es la menor medida que domina cada medida en $\mathcal C$ .