Masa y centro de masa de la lámina en coordenadas polares

Question

Necesito ayuda con el siguiente problema que es la pregunta número 15.5.4 de la séptima edición de Stewart Calculus. Aquí está la definición del problema:

"Encuentra la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región D y que tiene la función de densidad dada $\rho$ , donde: $D={(x,y) | 0\le x \le a, 0 \le y \le b}$ y $\rho (x,y) =1+x^2+y^2 $ "

Lo hice en coordenadas rectangulares, pero el trabajo y la respuesta son demasiado complicados. Necesito ayuda para hacerlo en coordenadas polares.

Veo que $z=1+x^2 +y^2=1+r^2$ cuyo gráfico es fácil de visualizar.

Necesito ayuda para empezar a convertir lo siguiente en coordenadas polares:

$m=\int\int_D \rho(x,y) dA =\int_0^a\int_0^b(1+x^2+y^2)dy dx$
$\bar{x}=\frac{1}{m}\int\int_Dx\rho(x,y)dA$
$\bar{y}=\frac{1}{m}\int\int_Dy\rho(x,y)dA$
Entonces resuelve el centro de masa $(\bar{x},\bar{y})$

Parece obvio que $m=\int\int_D \rho(x,y) dA =\int\int_D (1+r^2)r dr d\theta$ Pero lo que no entiendo es el alcance de la integración. He intentado utilizar $0\le r\le \frac{b}{sin{\theta}}$ y $0\le \theta \le \arcsin{\frac{b}{r}}$ pero mi calculadora TI-89 me dio un resultado indefinido.

Si alguien puede mostrarme cómo plantear estas integrales en coordenadas polares, creo que podría hacer la integración yo mismo. Sin embargo, me gustaría que alguien comprobara mis respuestas a las integrales para asegurarme de que la masa y el centro de masa son correctos.

Answer 1

Para integrar esta región en coordenadas polares, es aconsejable dividir la integral en dos partes, como se muestra en las figuras siguientes:

Las dos partes de la integral están divididas por la línea diagonal que pasa por la esquina superior derecha del rectángulo. Como los lados del rectángulo son $a$ y $b$ , esta línea diagonal está en el ángulo $\arctan \frac ba.$

Para $0 \leq \theta \leq \arctan \frac ba,$ se integraría sobre $0 \leq r \leq a \sec\theta,$ y para $\arctan \frac ba \leq \theta \leq \frac\pi2,$ se integraría sobre $0 \leq r \leq b \csc\theta.$

Si realmente intenta esto, creo que encontrará que no es más fácil que hacer la integración en coordenadas rectangulares. Incluso puede ser peor.

Un enfoque alternativo, en lugar de combinar $x^2+y^2$ en $r^2$ , es integrar los términos por separado:

$$\begin{eqnarray} m &=& \int_0^a\int_0^b (1+x^2+y^2)\,dy\,dx \\ &=& \int_0^a\int_0^b dy\,dx +\int_0^a\int_0^b x^2 \,dy\,dx +\int_0^a\int_0^b y^2 \,dy\,dx \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} m\bar{x} &=& \int_0^a\int_0^b x(1+x^2+y^2)\,dy\,dx \\ &=& \int_0^a\int_0^b x \,dy\,dx +\int_0^a\int_0^b x^3 \,dy\,dx +\int_0^a\int_0^b xy^2 \,dy\,dx \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} m\bar{y} &=& \int_0^a\int_0^b y(1+x^2+y^2)\,dy\,dx \\ &=& \int_0^a\int_0^b y \,dy\,dx +\int_0^a\int_0^b x^2y \,dy\,dx +\int_0^a\int_0^b y^3 \,dy\,dx \end{eqnarray}$$

Ahora tienes nueve integrales que resolver, pero todas son bastante sencillas.