¿Existen algunas condiciones sencillas que garanticen que la frontera de un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ ¿tiene medida cero? Además, ¿es cierto que la frontera de un conjunto cerrado en $\mathbb{R}^n$ tiene medida cero?
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He aquí una condición geométrica suficiente para un conjunto general $E$ tenga medida cero: para cada $x\in E$ hay $c>0$ tal que para todo lo suficientemente pequeño $r>0$ el $r$ -vecino de $x$ contiene una bola de radio $cr$ que es disjunta de $E$ . Se trata de una forma débil de afección conocida como porosidad . Para ver que implica tener la medida cero, se utiliza el teorema de la densidad de Lebesgue.
La porosidad es fácil de verificar para la frontera de un conjunto abierto dado: basta con encontrar, para cada punto de la frontera, un subconjunto en forma de cono (posiblemente retorcido) con un vértice en ese punto. Se permite que la forma y el tamaño dependan del punto. Los dominios suaves, Lipschitz y uniformes están cubiertos por esta condición.
La frontera de un conjunto cerrado o abierto puede tener medida positiva. En $\Bbb R$ Por ejemplo, dejemos que $C$ ser un llamado conjunto gordo de Cantor Entonces $C$ es cerrado y tiene el interior vacío, por lo que es su propio límite y el de su complemento.
No veo inmediatamente una prueba, pero sospecho que el límite de cada abierto regular establecido en $\Bbb R^n$ tiene medida $0$ un conjunto $U$ en un espacio topológico $X$ es regularmente abierto si $U=\operatorname{int}_X\operatorname{cl}_XU$ . Añadido: Incorrectamente, según parece; véase el comentario de LVK más abajo.
