El radio de la esfera inscrita.

Question

En la base de una pirámide triangular $SABC$ es un triángulo isósceles $ABC$ en el que $AB = AC = a$ y el ángulo $BAC = \alpha$ . Todos los lados están inclinados hacia el plano de la base bajo los mismos ángulos y lado $AC$ (o $AB$ ) se forma con un borde lateral $SBC$ ángulo $\beta$ . Determina el radio de la bola inscrita en esta pirámide. No pude encontrar el ángulo entre la base de la pirámide y las caras laterales.

Answer 1

Para que las caras laterales formen el mismo ángulo diedro con la base es necesario que la proyección $H$ del vértice $S$ en la base sean equidistantes de los lados de la base: $HN=HM$ en la figura siguiente, donde $N$ es el punto medio de $BC$ . Si $K$ es la proyección de $A$ en la cara opuesta $BCS$ entonces $AK$ y $SH$ se encuentran en un punto $O$ que debe ser el centro de la esfera inscrita. Esto implica que $OH=OK$ porque ambos son radios de esa esfera. Además, $\angle ABK=\beta$ porque $BK$ es la proyección de $AB$ en $BCS$ .

Ahora sólo es cuestión de expresar $OK$ en términos de $a$ , $\alpha$ y $\beta$ . Obsérvese que los triángulos $SKO$ , $SHN$ son similares entre sí e iguales a los triángulos $AHO$ , $AKN$ para que $$ SH=AK=a\sin\beta,\quad SN=AN=a\cos{\alpha\over2},\quad HN=KN=a\sqrt{\cos^2{\alpha\over2}-\sin^2\beta}. $$ Desde $OK:KN=SK:SH$ se obtiene finalmente $$ OK={HN\cdot (SN-KN)\over SH}={a\over\sin\beta} \left(\cos{\alpha\over2}\sqrt{\cos^2{\alpha\over2}-\sin^2\beta} -\cos^2{\alpha\over2}+\sin^2\beta\right). $$