Estados de excitación de las cuerdas / Espectro

Question

Estoy trabajando en el libro de David Tong notas de clase sobre la teoría de las cuerdas . La parte en la que estoy atascado es la página 41/42 del capítulo 2. El archivo PDF es aquí .

En 2.3.2 "Los primeros estados excitados", en la página 41/42, dice

Ahora veremos los primeros estados excitados. Si actuamos [sobre el estado de vacío de la cuerda] con un operador de creación $\alpha^j_{-1}$ entonces la condición de coincidencia de niveles (2.25) nos dice que también tenemos que actuar con un $\tilde{\alpha}^i_{-1}$ operador.

La ecuación a la que se refiere es:

$$M^2 = \frac{4}{\alpha'}(\sum_{i=0}^{D-2}\alpha_{-n}^i\alpha_{n}^i -a) = \frac{4}{\alpha'}(\sum_{i=0}^{D-2}\tilde{\alpha}_{-n}^i\tilde{\alpha}_{n}^i -a).$$

El problema es que no entiendo cómo esto nos dice que también tenemos que actuar con un $\tilde{\alpha}^i_{-1}$ operador.

Answer 1

Definir $$ N \equiv \sum_{i=0}^{D-2} \alpha_{-n}^i \alpha_n^i,~~~~{\tilde N} \equiv \sum_{i=0}^{D-2} {\tilde \alpha}_{-n}^i {\tilde \alpha}_n^i $$ La fórmula que has escrito nos dice un particular que para cualquier estado, debemos tener $N = {\tilde N}$ . Esta condición se conoce como condición de coincidencia de niveles. El estado $\alpha^i_{-1} |0;k\rangle$ tiene $N = 1$ pero ${\tilde N} = 0$ (verificar esto). Así, $\alpha^i_{-1} |0;k\rangle$ no es un estado físico. El primer estado excitado debe tener $N = {\tilde N} = 1$ . La única manera de tener esto es que el estado $\alpha^i_{-1} \alpha^j_{-1} |0;k\rangle$ .

Answer 2

Si se calcula el valor de la expectativa $\langle\Psi| M^2|\Psi\rangle$ del operador masa-cuadrado $M^2$ del estado $|\Psi\rangle~=~ \alpha^j_{-1}| 0; p\rangle $ entonces se violaría la condición de coincidencia de niveles (2.25).