¿Podemos asignar valores significativos a $\int_{-a}^bf(x)/x^n\,\mathrm dx$ para $n=2,3,\dots$

Question

El título de la pregunta lo dice todo. Deje que $f(x)\geq 0$ en $x\in[a,b]$ con $f(0)>0$ y $a,b>0$ . En el caso de $n=1$ tenemos el interpretación del valor principal que asigna un valor (normalmente finito) tomando un límite simétrico alrededor del polo mediante $$ I\overset{\text{p.v.}}{=}\lim_{\epsilon\nearrow 0}\left(\int_{-a}^{-\epsilon}+\int_\epsilon^b\right)f(x)\frac{\mathrm dx}{x}. $$ Entiendo que la elección de este límite simétrico es en cierto sentido natural porque asigna un valor principal de cero a las funciones Impares cuando el intervalo de integración es simétrico respecto al origen. Para $n=2$ nuestro problema es mucho más grave, ya que no hay manera de cancelar las partes divergentes de la integral con un límite. Sin embargo, para todos los $n=2m+1$ , $m=1,2,\dots$ volvemos a tener una situación en la que al menos algún tipo de límite simétrico sobre el polo es prometedor.

¿Existe una forma significativa de asignar valores $\int_{-a}^bf(x)/x^n\,\mathrm dx$ para $n=2,3,\dots$ ?

Entiendo que la palabra significativo puede muy bien depender del contexto. Mi principal interés es el caso en el que $f$ es una densidad de probabilidad en $\operatorname{supp}(X)=[-a,b]$ con densidad no nula en el origen. En este contexto, las integrales descritas anteriormente asignarían valores a momentos negativos a la variable aleatoria $X\sim f$ .

Answer 1

Resulta que las regularizaciones de integrales de esta forma no son siempre únicas. Una forma de generalizar el valor principal de Cauchy se encuentra en Una generalización del valor principal de Cauchy donde el autor da la regularización (denotada $\mathcal P$ ): $$ \mathcal P\int_a^b f(x)\frac{\mathrm dx}{(x-u)^{n+1}}=\lim_{\epsilon\nearrow 0}\left(\int_a^{u-\epsilon} f(x)\frac{\mathrm dx}{(x-u)^{n+1}}+\int_{u+\epsilon}^b f(x)\frac{\mathrm dx}{(x-u)^{n+1}}-H_n(u,\epsilon)\right), $$ para algunos $a<u<b$ y $n\in\Bbb N_0$ donde $$ H_n(u,\epsilon)=% \begin{cases} 0, &n=0\\ \sum_{\ell=0}^{n-1}\frac{f^{(\ell)}(u)}{\ell!}\frac{1-(-1)^{n-\ell}}{(n-\ell) \epsilon^{n-\ell}}, &n\in\Bbb N. \end{cases} $$ Para $n=0$ obtenemos el valor principal de Cauchy y $n=1$ da la parte finita de Hadamard.