Los números irracionales en la realidad

Question

Tengo un cuadrado de losa de piedra de 1 metro por 1 metro, por la identidad Pitagórica de la diagonal de una esquina a otra está dada por $\sqrt 2$. Sin embargo $\sqrt 2$ es un número irracional, podría alguien explicar cómo es posible que no sea de terminación (y no repetir) número se puede representar como una longitud finita en la realidad?

EDIT: ¿hay referencias/libros con respecto a esto?

Answer 1

No es el número de $\sqrt{2}$ que no termina; es la expansión decimal de la cantidad que no termina. Si intenta escribir toda la expansión decimal de un número, voy a estar escribiendo para siempre, pero el número en sí es sólo un pequeño número entre el$1.4$$1.5$.

Answer 2

En realidad, la exacta longitud lateral de un metro no existe, tampoco. Ni exacta, de forma cuadrada. También tenga en cuenta que el dígito de las secuencias, como tales, son irrelevantes, ya que dependen de las unidades que participan - con una adecuada unidad, la diagonal es tal vez uno kellicap de largo y el lado de longitud es irracional.

Answer 3

Yo te daré la misma respuesta que dio a un amigo hace algunos años (no sé si es correcto... ¿Cómo podemos saber? Es esta la pregunta acerca de la matemática?):

Los números irracionales son el resultado de los cálculos, no de las mediciones con los gobernantes. Estos cálculos se basan en axiomas que se han extrapolado a partir de la experiencia y la influencia de la intuición humana.

Podemos utilizar Euclides de la geometría en el mundo real, muy bien hasta un punto, pero se descubrió que la geometría Euclidiana no es siempre la más simple para ser utilizado en el mundo real (y si uno insiste en el uso de ella, muchas de las teorías físicas son mucho más complicadas). La geometría comenzó como algo de una teoría física, ya que sus axiomas están basadas en la experiencia y en la intuición humana de cómo funcionan las cosas "deberían ser" en el mundo real. La razón por la que muchos dudaban de que el postulado paralelo es porque se trata de ampliar un segmento de línea "indefinidamente", y esto es algo que no podemos probar empíricamente, incluso para un solo caso (y si no recuerdo mal, los antiguos Griegos creían que el Universo era finito). (Ver la geometría No Euclidiana). Incluso la noción de perímetro de un "objeto físico" no tiene sentido en la "realidad" (véase la Costa de la paradoja , y si uno piensa también en el descubrimiento de los átomos y de otras muchas nuevas teorías y descubrimientos que pueden aparecer en el futuro, las cosas comienzan a ser realmente complicado si desea matemáticas estar de acuerdo con la "realidad"...). ¿Qué es la "realidad"? Tratamos de modelo de la "realidad", pero, ¿cómo puede usted estar seguro de que su modelo se está de acuerdo con la "realidad"? Creo que esto es imposible, pero al menos a veces, podemos encontrar útil aproximaciones (la geometría Euclidiana y de la mecánica Newtoniana que hoy en día se considera sólo aproximaciones). Una de las cosas bellas acerca de las matemáticas es que muchas veces los matemáticos no se preocupan mucho acerca de la "realidad", y sus ideas de encontrar aplicaciones en la física de todos modos. ¿Hay alguna situación en la física donde necesitamos una mejor aproximación de 1.4142135623730950488016887242 para $\sqrt{2}$? Y el hecho de que algunas cosas no tienen sentido para un ser humano no significa que no puede ser verdad en la naturaleza, porque "la naturaleza no tiene la obligación de hacer sentido" (este era el favorito de la respuesta de un hombre anónimo en Internet cuando la gente se quejaba de la mecánica cuántica y la relatividad general no sentido).

Una pregunta relacionada con el suyo fue preguntado hoy: Cálculo en una discreta universo

Lo siento por mi inglés (que no es mi idioma nativo).

Answer 4

Nos gustaría conjetura de que dos importantes mecanismos que están involucrados con una descripción matemática del mundo material:

• Abstracción, dando lugar a la Ciencia
• La idealización, dando lugar a las Matemáticas

Esquemáticamente:

La abstracción

Etimología.

Perfecto pasivo participio de abstraho ("sacar distancia desde"). Ciertas propiedades de la cosa entera se conservan en el proceso de de la Abstracción:

• resumen
• abstractus, latina

Argumentaremos que la Abstracción no es un matemático, sino más bien un físico actividad. Que ya está hecho por nuestros sentidos. Nuestros ojos pueden ver la luz, como se arrojó de nuevo a partir de un trozo de papel. El mismo pedazo de papel que puede ser percibido por la punta de nuestros dedos. Y cuando está abollada, el sonido de lo que va a ser escuchado por nuestros oídos. Pero los ojos no puede escuchar el sonido, las yemas de los dedos no pueden ver la luz. Todos estos solo las percepciones de nuestros sentidos tienen que trabajar juntos. E incluso si no estamos discapacitados, el resultado final es todavía una abstracción de la realidad como un todo, de una parte de él. Ninguno de nuestros sentidos es capaz, por ejemplo, para ver ultravioleta los colores, como algunos insectos probablemente.
Pero, ¿por qué la atención se limita a las creaciones de la Naturaleza? ¿Por qué no echa un vistazo a nuestras propias creaciones: human hecho de la Tecnología? Algunas cámaras son capaces de "ver" en el infrarrojo de dominio. Nuestra radio telescopios son incluso capaz de "ver" las frecuencias de radio de lejos galaxias. Mucho más común y bien conocido diario abstracciones de la realidad se realiza, sin embargo, con los dispositivos de medición al igual que las varillas para la abstracción de las longitudes, los relojes de la la abstracción de los intervalos de tiempo. Pero de estos dispositivos de medición se han vuelto más y más autosuficiente en estos días. Cuando se combina con los ordenadores digitales, humanos la interacción es no necesitaba más. Todos estos aparatos hacen que una abstracción de la realidad, que es físico y no un proceso mental.

La idealización

Esto plantea una pregunta obvia: ¿dónde hace"real" de las matemáticas de inicio entonces? Respuesta: con el siguiente paso: la Idealización. La idealización podría ser caracterizado como la verdadera actividad matemática. La idealización es donde la imaginación y la fantasía vienen en. Y resulta que el infinito a menudo es una palabra clave que acompaña a este proceso.
Muchos desafiante idealizaciones se encuentran en las teorías de la Física. En "la Teoría de La Radiación de Calor" por Max Planck, de la Ley de Desplazamiento de Wien (capítulo III), sólo pueden ser derivadas bajo las condiciones siguientes: si el negro la radiación contenida en un perfectamente evacuados de la cavidad con reflejando perfectamente paredes es comprimido o expandido adiabático e infinitamente lentamente. Idealizado Carnot motores se utilizan en la Termodinámica para definir que impresionantes, pero indispensable cantidad, llamada Entropía. Y la lista sigue y sigue. ¿ ideal, un movimiento sin fricción en la mecánica? Cómo ideales péndulos, que puede sólo existen a través de un seno con (casi) de amplitud cero. Tan pronto como los físicos han ideado su modelo matemático, entonces se puede decir que la idealización se ha logrado mucho. Uno debe convertirse en la notificación tan pronto como el siguientes frases hechas: "perfecto", "ideal", "cero", pero sobre todo "infinitamente", como en "infinitamente lento" o "finas". Puede ser de forma segura concluyó que Infinitos son invariablemente asociados con Idealizaciones.
Sobre las matemáticas, entre los más clásicos ejemplos de la idealización, sin duda, es bueno viejo La Geometría euclidiana - donde debemos empezar a considerar la geometría en su valor original: clásicos de la filosofía griega. Recuerde utterings como: un punto no tiene el tamaño de una línea infinitamente delgadas, rectas paralelas se cortan en el infinito. El concepto de un número irracional no habría surgido si Euclidiana la geometría no había estado allí en primer lugar.

Entonces, ¿qué es $\sqrt{2}$ ? Se trata de una idealización. Es una idealización de numerosos las abstracciones, las abstracciones de los números como $1.414213562373$ o $1.14$ o $99/70$ , como se mide, por ejemplo, con una barra cuando se trata de determinar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud $1$ metros.
$\sqrt{2}$ no existe en el mundo real. Pero tampoco un ideal triángulo. Todo lo que usted puede tener en realidad es "triángulos de madera con patas no exactamente $1$ metros y una principales ángulo no exactamente".
Matemáticas con triángulos sería muy torpe, así que estamos encantados de que idealizada triángulos que se puede imaginar. Se puede concluir que su "longitud fija" es una idealización, una ilusión así. Esto resuelve la "paradoja" de que un "longitud fija" no podría ser representado por la infinidad de decimales de un número irracional. Ambos la longitud y el número no es real.

Answer 5

podría alguien explicar cómo es posible que no sea de terminación (y no repetir) número se puede representar como una longitud fija en la realidad?

Creo que tienes este mal: el número de $\sqrt{2}$ no está representado por algunos de longitud. El espacio euclidiano (o la realidad física) estaba allí en primer lugar. Hacemos uso de números para representar las cosas en el espacio euclidiano. Si un número de sistema que elija puede no representar algunas de esas longitudes, ¿por qué habría que modificar la longitud del triángulo de lado?