Estoy tratando de encontrar una fórmula que cree el siguiente gráfico:
Suponiendo que la línea vertical es y y la horizontal es x, me gustaría una asíntota en y = 1, en x = 0 la gráfica también debería ser '0'.
¿Alguna idea?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esto se parece mucho al $arctan(x)$ función.
Así que, básicamente, queremos una función que se parezca a
$ f(x) = A \cdot arctan(B(x-C))-D$ , donde $A, B, C, D$ son todas constantes.
Intuitivamente, $A$ hará que el límite en el infinito sea el que queramos. $B$ cambia la inclinación de la pendiente. $C$ mueve la pendiente de un lado a otro. $D$ cambia el " $y$ -posición" del gráfico (que importa si queremos $f(0)=0$ ).
Así que tenemos dos condiciones para trabajar, una es que $f(0)=0$ el otro es $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=1$
Esto nos ayuda a eliminar un par de constantes. También deduzco de tu imagen que quieres que la parte ascendente esté "alrededor de $.5$ ", lo que me permite eliminar una constante más. Así que se obtiene lo siguiente:
$f(x) = \frac{2}{\pi-2\cdot arctan(\frac{-B}{2})} \cdot (arctan(B(x-\frac{1}{2}))-arctan(\frac{-B}{2})) $
Así, por ejemplo, aquí tenemos un gráfico de la función con $B = 20$ :
Brad Tutterow
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Siempre que veas algo que se eleva desde una línea plana, como lo hace tu gráfico alrededor de $x=0$ , debe convocar a $y=e^{-1/x^2}$ (definido para tener $y=0$ cuando $x=0$ ). Es el ejemplo omnipresente de una función suave y no analítica que consigue pasar del estado de todas las derivadas son 0 al de aumento monotónico.
En su caso, por suerte, la función tal cual tiene efectivamente $y=1$ como asíntota para que sea precisamente lo que buscas. Si te importan los valores a la izquierda de $x=0$ se puede modificar la función decretando que sea 0 cuando $x<0$ . Milagrosamente, sigue siendo perfectamente suave.
Esta imagen es de la función completa, sin modificar:
