¿Cuándo una interacción hace caer el sistema en un estado propio? (es decir, cuándo es una medida=)
Esta es una pregunta mal planteada porque, en primer lugar, el sistema $S$ no cae en ningún estado pero cada observador $O$ tiene un estado sobre él, como un estado $\rho$ no es más que la codificación de las mediciones pasadas (por lo que debería nombrarse en referencia a que depende de $O$ y $S$ y no sólo este último, por lo que ' el estado vive en el enlace observador-sistema ' y no es intrínseco sólo al sistema, que sería su álgebra de observables). Las interacciones crean correlaciones durante la evolución aislada $\hat{U}(t_1,t_0)$ del sistema cerrado $O\otimes S$ y sólo las que son estables y robustas en el tiempo pueden considerarse mediciones desde el punto de vista $O$ donde el proceso de decoherencia tiene un papel importante. En este sentido, su pregunta es de carácter fenomenológico sobre cuándo y cómo las diferentes interacciones entre observadores, sistemas, aparatas... crean correlaciones estables, robustas y fiables entre los observables de $O$ y $S$ visto por otro observador $O'$ algo que depende completamente de la naturaleza del hamiltoniano $\hat{H}_{O-S}$ La fuerza de los acoplamientos y las escalas de tiempo implicadas.
Creo que la respuesta de @ACuriousMind es bastante acertada. Este tema se convierte fácilmente en discusiones filosóficas incluso por parte de los expertos (por eso dice que está "sin resolver"), pero creo que son inevitables algunas conclusiones conservadoras pero objetivas. Pides alguna descripción matemática pero creo que la dificultad está precisamente en las confusiones epistemológicas y no en el formalismo. Para una exposición más detallada desde el punto de vista matemático, consulte los artículos y el final de esta respuesta:
INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN
El mundo está hecho de sistemas físicos que interactúan $S_i$ caracterizados por sus grados de libertad, es decir propiedades observables $\mathcal{A}^{(S_i)}_j$ con sujeción a relaciones algebraicas , en general no conmutativas, que caracterizan sus espectros de valores medibles y la complementariedad (en particular, las relaciones de conmutación equivalen a especificar las relaciones de incertidumbre de Heisenberg a los pares de observables y también suelen ser suficientes para deducir sus representaciones espectrales). Las álgebras de operadores generales con propiedades analíticas motivadas físicamente se representan mediante operadores $\hat{A}^{(S_i)}_j$ actuando sobre espacios de Hilbert. Cualquier descripción física debe hacerse desde dentro del mundo por algún sistema que estudie otros sistemas, fijando así un sistema de referencia $\mathcal{O}:=S_0$ especifica un observador que/quien describirá el resto (o el subsistema de interés $S$ sin tener en cuenta el resto como medio ambiente ) por las correlaciones que obtiene al medir sus observables. Los observables son entonces los que caracterizan las conexiones, los vínculos, entre los sistemas, ya que son "canales de información" a través de los cuales los sistemas pueden afectarse/conocerse mutuamente mediante la interacción. Todavía no sabemos cómo funciona esto, $\mathcal{O}$ interactúa con $S$ obtención de los valores de los espectros de $\hat{A}^{(S)}_j$ pero si dos de ellos no conmutan, $[\hat{A},\hat{B}]\neq 0$ los valores propios medidos son incompatibles para estar bien definidos al mismo tiempo
Ejemplo : medición del giro $\hat{S}_z$ en un aparato de Stern-Gerlach da un valor propio definido $\pm 1/2$ con $50\%$ oportunidad cada uno, digamos $+$ se conserva si otro $\hat{S}_z$ se mide sucesivamente por el mismo u otro observador, $100\%$ es de nuevo $+$ pero si $\hat{S}_x$ se mide después, entonces una nueva medición $\hat{S}_z$ revela que la información original $+$ se perdió y de nuevo $50\%$ se obtiene, por lo que los observables incompatibles no tienen estados propios comunes y representan propiedades no bien definidas al mismo tiempo.
Por lo tanto, $O$ medidas de $S$ al mismo tiempo sólo como máximo conjuntos máximos de observables compatibles porque estos idealmente tienen valores propios definidos al mismo tiempo, por lo que cualquier sistema $S$ se especifica mediante "ventanas completas de interacción" dadas por todos los posibles subconjuntos máximamente compatibles $\{\hat{A}, \hat{B},...\},\{\hat{X},\hat{Y}...\}...$ de su álgebra de observables. Ahora, en cada tiempo de interacción entre $O$ y $S$ , $O$ obtiene a través de sus sentidos/apparata como mucho una colección $|a,b...\rangle$ de valores propios bien definidos simultáneamente de un conjunto completo de observables (cuya selección depende de los sentidos/apartados que intervienen en esa y cada interacción). Así que $O$ sistema "observa $S$ en $t_0$ en el estado $|\Psi(t_0)\rangle =|a,b,..\rangle$ porque las propiedades máximamente compatibles que definen $S$ tienen esos valores en ese momento. Ahora, en un momento posterior $O$ vuelve a interactuar con $S$ sino a través de otro conjunto compatible de observables que dan un estado de valores medidos $|\Psi(t_1)\rangle =|x,y,..\rangle$ . La colección de valores propios de los operadores compatibles forman un estado propio en la representación del espacio de Hilbert.
Todo lo que trata la mecánica no relativista es estudiar cómo predecir la probabilidad de que habiendo medido un sistema en estado $|\psi\rangle$ se observará en el estado $|\chi \rangle$ en un momento posterior . Esto viene dado por una distribución de probabilidad en el espacio de posibles estados futuros para cada estado actual, que en el caso general no conmutativo es lo mismo que dar un funcional lineal positivo normalizado en el álgebra observable, y por el teorema de Gleason cada uno de estos funcionales puede ser representado por un _operador de densidad $\rho$ . De hecho, los estados propios completos $|\Psi\rangle$ de algún conjunto máximo de observables compatibles están en correspondencia biyectiva con operadores de densidad que son proyectores de rango 1, es decir $\rho\\psi=|\psi\rangle\langle\psi|$ , llamado estados puros (general estados mixtos son combinaciones convexas de estados puros y representan mezclas estadísticas de nuestra incertidumbre sobre qué estado puro se midió realmente). De esta manera, un estado $\rho$ de $S$ no es sólo el registro de los valores $O$ observado pero una disposición de probabilidad para futuras observaciones ya que el teorema de Gleason garantiza que la probabilidad de medir un valor propio futuro $m$ de los observables $\hat{M}$ viene dado por el valor de la expectativa de su proyector $\langle \hat{P}_m\rangle =tr(\rho\cdot\hat{P}_m)$ y por descomposición espectral se obtienen las probabilidades y expectativas de cualquier observable, incluyendo entonces las probabilidades de transición entre estados propios $\mathcal{P}(\psi\mapsto\chi)=|\langle\chi |\psi\rangle|^2 =tr(\rho_\chi\cdot\rho_\psi)$ .
Esta es la cinemática de la mecánica cuántica porque no se ha tenido en cuenta ninguna evolución dinámica entre las interacciones observador-sistema en $t_0$ y $t_1$ . Cuando $O$ no está interactuando con $S$ El segundo se considera aislado o un "sistema cerrado" y se le deja evolucionar solo durante $\Delta t=t_1-t_0$ . Ahora bien, si $S$ debe considerarse el mismo sistema en diferentes momentos, todo lo que lo caracteriza debe permanecer invariante, es decir, el álgebra observable debe ser la misma en diferentes momentos, lo que significa que los operadores que la representan deben estar relacionados por un álgebra-automorfismo $\mathcal{U}(t_1,t_0)$ tendiendo a la identidad cuando $t_1\rightarrow t_0$ , éste por el teorema de Stone-von Neumann viene dado por un operador unitario $\hat{U}(t_1,t_0)$ transformando la representación del operador del álgebra como $$\hat{A}(t_1)=\hat{U}^\dagger (t_1,t_0)\cdot\hat{A}(t_0)\cdot\hat{U}(t_1,t_0)$$ que no es otra cosa que la ecuación de Schrödinger en La imagen de Heisenberg . Por lo tanto, si $O$ midió un estado $\rho_0$ inicialmente, si en un momento $t_1>t_0$ observador $O$ interactúa con $S$ para medir lo observable $\hat{B}(t_1)$ y obtener el valor propio $b$ con probabilidad $tr(\rho\cdot\hat{P}_b(t_1))$ donde el proyector evoluciona por la misma transformación unitaria por el mismo razonamiento. Tan pronto como $O$ percibe/detecta/ mide un nuevo valor $m$ de cualquier observable $\hat{M}$ de $S$ debe actualizar la información que tenía almacenada en $\rho_0$ por el nuevo estado $$\rho_1 =\frac{\hat{P}_m(t_1)\cdot\rho_0\cdot\hat{P}_m(t_1)}{tr(\rho_0\cdot\hat{P}_m(t_1))}.$$ Esto es La regla de Lüder y es la generalización no conmutativa de Regla de Bayes para actualizar las distribuciones de probabilidad condicionándolas a nueva información, como se justifica en el artículo de Duvenhage enlazado anteriormente o en Artículos de Busch-Lahti y sus libros.
Ahora bien, la naturaleza del operador de evolución ES LO QUE ENCIERRA LAS INTERACCIONES de los subsistemas dentro de $S$ según lo visto por $O$ . ¿Por qué? porque a priori el automorfismo que preserva la identidad del sistema puede depender de otros sistemas, y eso es lo que se entiende por "interacción . En efecto, por el teorema de Stone, el operador unitario de evolución puede ser refundido en su generador infinitesimal el operador hamiltoniano un operador hermitiano $\hat{H}_S$ , con espectros acotados desde abajo, característicos de la evolución aislada de todo el sistema $S$ , satisfaciendo $U(t_1,t_0)=\exp (-i\hat{H}_S\Delta t/\hbar)$ . El operador $\hat{H}_S$ debe depender de los observables de $S$ y los de los demás sistemas que interactúan con él, para que intervengan en la evolución del tiempo. Razones de simetría (por ejemplo, homogeneidad e isotropía) motivan los términos del hamiltoniano responsable de la evolución libre (términos cinéticos como $\hat{p}^2/2m$ ) que sólo implican los observables del sistema, por lo que las interacciones deben aparecer en forma de acoplamientos entre los diferentes observables del sistema (como $\hat{\mathbf S}_1\cdot\hat{\mathbf S}_2$ para las interacciones de espín). Teniendo en cuenta todo esto, cualquier observador $O$ sólo necesita conocer el Hamiltoniano de $S$ (o el Hamiltoniano libre de sus subsistemas y los acoplamientos de interacción) para poder evolucionar los observables $\mathcal{A}^{(S)}_j$ en una representación del operador mediante la ecuación de Heisenberg utilizando $\hat{U}(t_1,t_0)$ que junto con la información que ya tiene en un estado medido anterior $\rho_0$ le permite establecer todas las distribuciones de probabilidad de las mediciones futuras a través de las leyes establecidas anteriormente. Pero la evolución del tiempo puede ser matemáticamente mapeada en el espacio de estados, lo que equivale a evolucionar $\rho(t)$ y arreglar $\mathcal{A}^S$ dando la ecuación de Schrödinger habitual.
El error categórico de la ontología es otorgar realidad a los estados intermedios $\rho(t)$ mientras que $S$ se aísla entre los tiempos de medición $t_0<t<t_1$ : $\rho(t)$ evoluciona $\rho_0$ en una superposición de estados propios que genéricamente no corresponden a un estado puro de medidas/información de ningún observador, es decir, los estados intermedios de la imagen de Schrödinger no están justificados para representar estados físicos desde una interpretación empirista operativa de la mecánica . Deberíamos suspender el juicio sobre el realista que afirma una superposición de todas las historias y tal, porque no son vistas por ningún observador físico y provienen de una conveniencia matemática fuera del significado original físicamente motivado de los observables y estados con los que comenzamos.
Está claro que la descripción que cualquier observador puede hacer de cualquier sistema, es intrínsecamente incompleta porque no incluye la $O-S$ interacción. Esto es inevitable, ya que los observables sólo tienen sentido como "canales de comunicación" entre sistemas. Sin embargo, la mecánica cuántica es completa porque otro observador $O'$ puede modelar mediante la misma teoría las mediciones realizadas por $O$ considerando el sistema acoplado $O\otimes S$ , ya que ahora $O'$ tiene acceso tanto a los observables de $O$ y los de $S$ y poder estudiar sus acoplamientos. Por lo tanto, una medida de $S$ por el observador $O$ no es más que una interacción en la evolución temporal del $O\otimes S$ sistema visto por otro observador $O'$ . Qué $O'$ ve es grados de libertad de $O$ correlacionándose con los grados de libertad de $S$ (por ejemplo, los aparatos de $O$ se mide siempre por $O'$ para estar en la misma posición cuando $S$ se mide por $O'$ para estar en el valor propio $a$ ), y los las correlaciones de los observables son mediciones . La dinámica utilizada por $O'$ a través de $\hat{U}$ utiliza $\hat{H}_{O-S}$ algo que $O$ no podía utilizar, por eso no era capaz de describir su propio proceso de interacción y medición. Además, la mecánica cuántica es consistente porque la dinámica garantiza que $O$ y $O'$ obtienen los mismos valores al comparar al medir los valores propios del mismo observable de $S$ si esto se dejara evolucionar de forma aislada.
Lea a Smerlak, Rovelli o Englert para ver cómo aplicar el formalismo cuántico de forma coherente y comprobar que diferentes observadores pueden tener información diferente sobre el sistema pero, sin embargo, están de acuerdo. (En resumen, están de acuerdo porque, o bien están descoherenciados y miden observables compatibles, por lo que obtienen los mismos valores propios, o bien son observadores sin contacto que se consideran parte del sistema cerrado desde el punto de vista del otro; sin embargo, si han de comparar las mediciones deben interactuar, por lo que se descoherencian y cada observador verá < un valor propio del sistema > y < el otro observador vio que el valor propio > ambos con la misma probabilidad, consistencia rallante; cf. los artículos de Rovelli).
La moral de van Kampen : Si dotas a los símbolos matemáticos de más significado del que tienen [operativamente], tú mismo eres responsable de las consecuencias, y no debes culpar a la mecánica cuántica cuando te encuentres en apuros
RESUMEN: la respuesta a lo que hace que el sistema se proyecte en un estado propio es precisamente la parte complicada: el sistema no cae en nada, sólo la información del observador sobre el sistema "cae" en un estado propio, porque los estados propios son el resultado de la medición de observables del sistema por parte del observador. Su "caída" es el "colapso de la función de onda", que no es más que el análogo no conmutativo de la clásica actualización bayesiana de las distribuciones de probabilidad tras la adquisición de nuevos conocimientos. No hay nada que "colapse" o "caiga" en cada medición porque el estado es un dispositivo de información, un registro de la historia de la interacción pasada entre el observador y el sistema. El objetivo de mi respuesta es que la interpretación física sólo se justifica para la imagen de Heisenberg: los estados no evolucionan y luego colapsan, los observables del sistema evolucionan y se actualiza la información que se tiene en cada medición. La mecánica cuántica sólo da las probabilidades condicionales de las preguntas "habiendo medido a,b.. ¿cuál es la probabilidad de medir x,y.. más tarde?". Por lo tanto el "estado está en el vínculo observador-sistema" porque diferentes observadores pueden tener diferente información del sistema debido a la diferente historia de interacción pasada, por lo que el estado no es algo intrínseco del sistema sino relativo/relacional. Sin embargo, en cuanto los observadores entran en contacto, la dinámica garantiza que verán las mismas mediciones siempre que sean de observables compatibles y el sistema estuviera aislado. Esto se debe a que en el caso cuántico la medición de un observable destruye la información previa sobre un observable complementario. En la mecánica clásica es posible un estado común del sistema entre los observadores porque es el límite conmutativo y todos los observables tienen valores bien definidos al mismo tiempo para un estado puro.
Por tanto, una medida es cualquier interacción del sistema $S$ con el observador $O$ que establece una correlación robusta y estable entre algunos de sus grados de libertad, pero este es un proceso que sólo puede ser descrito por otro observador $O'$ que verá que depende de los acoplamientos entre los observables del sistema compuesto $S\otimes O$ . Así que sólo aquellas interacciones en el acoplamiento del hamiltoniano $\hat{H}_{O-S}$ que crean correlaciones lo suficientemente robustas como para aparecer en la sensibilidad experimental de $O$ se calificará $O'$ para decir que la interacción de $O$ y $S$ era una medida .
Einstein nos enseñó que el tiempo y la longitud son relativos, Heisenberg nos enseñó que las entidades cuánticas no tienen estados propios absolutos definidos entre las mediciones (porque si se insiste en la imagen de Schrödinger, el estado superpuesto intermedio general dado por la evolución unitaria, no está justificado que sea empíricamente físico en el sentido de que no hay ningún observador para el que sea un estado propio, ya que genéricamente no hay observables físicos que lo diagonalicen ).
