¿Puede alguien explicar este argumento?

Question

Me encontré con el siguiente problema:

Dejemos que $f\in\mathbb{Z}[x]$ sea un cuártico irreducible cuya división tiene un grupo de Galois $S_{4}$ en $\mathbb{Q}$ . Sea $\theta$ sea una raíz de $f$ y denota $K=\mathbb{Q}(\theta)$ demostrar que $[K:\mathbb{Q}]=4$ que no tiene un subcampo propio.

que se ha resuelto aquí .

Estoy tratando de entender de qué habla DonAntonio en esta respuesta . Citando:

Una idea: $\,S_4\,$ tiene un único subgrupo de orden $\,4\,$ que entonces es normal y contenida en $\,A_4\,$ como se puede comprobar rápidamente.

Si existiera una subextensión de orden dos esto significaría $\,A_4\, $ tiene un subgrupo de orden $\,6\,$ (de o índice $\,2\,$ , como quiera atacar esto), que es no como sabemos.

Estoy de acuerdo con las afirmaciones teóricas de grupo que se hacen, pero no entiendo la conexión con el problema que nos ocupa (aunque esbocé (parte de) la correspondencia de Galois para el campo de división de $f(x)$ en $\mathbb Q$ (no veo qué corresponde a qué en la respuesta de DonAntonio).

¿Puede alguien explicar esta respuesta?

Answer 1

El subcampo cuaternario es el campo fijo de un subgrupo de $S_4$ de orden 6. Si el campo cuático tuviera un subcampo cuadrático, entonces el subcampo cuadrático estaría fijado por un subgrupo de $S_4$ de orden $12$ que contiene el subgrupo de orden $6$ . $S_4$ tiene un único subgrupo de orden $12$ , a saber $A_4$ y como $A_4$ no contiene ningún subgrupo de orden $6$ esto es imposible.