Matriz cónica y diagonalización

Question

Si tengo la cónica $C$ : $$ 5x^2 - 4xy + 8y^2 = 36 $$ Cómo lo expresaría como una matriz de la forma

$$ \begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = k $$ Also, how to find a unitary matrix $P$ such that $$ P^* \begin{bmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{bmatrix}P $$ es diagonal.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Dejemos que $$ A\equiv\left[\begin{array}{cc} a & \frac{1}{2}b\\ \frac{1}{2}b & c \end{array}\right] $$ para que \begin{align*} \left[\begin{array}{cc} x & y\end{array}\right]A\left[\begin{array}{c} x\\ y \[end{array}] & =\\año[ \begin{array}{cc} x & y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} a & \frac{1}{2}b\frac{1} \b & c \end{array}\right]\left[ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} [derecha]\ ~ - [derecha] \ ~ - [derecha] \ ~ - [derecha] \ ~ & =\left[ \begin{array}{cc} x & y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} ax+\frac{1}{2}by\\frac{1} \frac{1}{2}bx+cy \ end{array}\right]\ ~ - & & =ax^{2}+\frac{1}{2}byx+\frac{1}{2}bxy+cy^{2}\\ & =ax^{2}+bxy+cy^{2}. \fin{align*} Por lo tanto, $a=5$ , $b=-4$ y $c=8$ . Naturalmente, $k=36$ . Esto nos da $$ A\equiv\left[\begin{array}{cc} a & \frac{1}{2}b\\ \frac{1}{2}b & c \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 5 & -2\\ -2 & 8 \end{array}\right]. $$ Queremos diagonalizar $A$ . Obsérvese que los valores propios de $A$ son $\lambda_{1}=4$ y $\lambda_{2}=9$ (puede comprobarlo). Construyendo $P$ colocando los correspondientes vectores propios en las columnas, $$ P\approx\left[\begin{array}{cc} -0.89443 & -0.44721\\ -0.44721 & 0.89443 \end{array}\right]. $$ Puede comprobar que $$ P^{\star}AP\approx\left[\begin{array}{cc} \lambda_{1}\\ & \lambda_{2} \end{array}\right]. $$