¿Cómo es que $4(1+2+...+(n-1))$ igual $4(n-1)n/2$ ?

Question

Me gustaría que me ayudaran a entender esta secuencia:

$$1 + 4(1+2+...+(n-1)) = 1 + 4(n-1)\frac{n}{2}$$

¿Cómo es que $4(1+2+...+(n-1))$ igual $4(n-1)n/2$ ?

Esto está relacionado con la fórmula de la suma de los primeros enteros positivos:

$$(n+1)n/2 = 1+2+...+(n-1)+n$$ Pero no entiendo por qué es $(n-1)$ en lugar de $(n+1)$ .

Answer 1

Parece que conoces la fórmula $$1+2+3+\cdots+m=\frac{m(m+1)}{2}$$ para la suma del primer $m$ enteros positivos.

Poner $m=n-1$ . Obtenemos $\dfrac{(n-1)(n)}{2}$ .

Answer 2

$$1+\ldots +(n-1)+n =\frac{n(n+1)}{2}\implies 1+\ldots +(n-1)=\frac{n(n+1)}{2}-n=\frac{n(n-1)}{2}$$

Answer 3

Usted tiene $$ 1 + 4 (1 + 2 + \ldots (n - 1)) = 1 + 4 \cdot \frac{n (n - 1)}{2} = 1 + 2 n (n - 1) = 2 n^2 - 2 n + 1 $$ Utiliza la fórmula de la suma de los primeros enteros para $n - 1$ no para $n$ .