$1+1D$ $U(1)$ la teoría gauge es un sistema mecánico cuántico

Question

En el artículo Simetrías exóticas, dualidad y fractones en la teoría cuántica de campos de 2+1 dimensiones hay declaración (página 13):

Ordinario $1 + 1$ -dimensional $U(1)$ La teoría gauge es efectivamente un sistema mecánico cuántico de una sola variable.

Dicha teoría se define como:

$$ L = -\frac{1}{4} F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} $$

En el calibre de Lorentz: $$ \partial_\mu A^\mu = 0 $$

Libertad residual:

$$ A_\mu \to A_\mu +\partial_\mu \alpha $$ con $\Box \alpha = 0$ .

Usando esta libertad se puede eliminar toda la d.o.f. Así que la teoría de Maxwell 2d no tiene d.o.f. En color de tal consideración, esta declaración parece bastante extraña.

¿Podría alguien explicar ¿cómo probar/comprobar esta afirmación?

Answer 1

1. La densidad del lagrangiano de E&M sin materia en 1+1D es $^1$ $${\cal L}_H~=~-E_1 \dot{A}_1 ~-~{\cal H}_0 ~-~ A_0 \underbrace{\partial_1 E_1}_{\text{ Gauss law}}, \tag{i} $$ donde la densidad hamiltoniana es $${\cal H}_0~=~\frac{1}{2} E_1^2 -\theta E_1. \tag{ii}$$

2. A continuación, si utilizamos el gauge de Coulomb $\partial_1 A_1=0$ junto con la ley de Gauss $\partial_1 E_1=0$ vemos que el par de campos canónicos $(A_1,E_1)$ no depende del espacio $x^1$ , sólo a tiempo $t$ .

3. Tras eliminar el campo del multiplicador de Lagrange $A_0$ el modelo de teoría de campo (i) se convierte efectivamente en un modelo mecánico puntual con un único par canónico $(A_1(t),E_1(t))$ . Este hecho responde a la pregunta del título de la OP.

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$^1$ La ecuación (i) es antes de la fijación gauge y después de ignorar posiblemente los términos espaciales de frontera. Utilizamos una métrica de Minkowski con componente espacial positiva y componente temporal negativa. La variable de momento a $A_1$ es menos $E_1$ .

Answer 2

Tal vez haya un argumento más vivo y riguroso en la teoría del continuo, pero no los conozco, así que presentaré un argumento de la teoría gauge de celosía.

La versión discreta de la teoría gauge, que en el límite del continuo da la acción ordinaria de Maxwell (Yang-Mills) se llama así Acción de Wilson : $$ S_G = \sum_{\Box} \beta \ (1 - \frac{1}{N_c}\text{Tr } U_{\Box}) \qquad U_{\Box} = U_\mu (x) U_\nu (x + \mu) U_\mu^{\dagger} (x + \nu) U_\nu^{\dagger} (x) $$ Donde $U_\mu (x)$ es el enlace que apunta a la $\mu$ dirección del sitio, ubicado en $x$ . Las transformaciones gauge actúan sobre los enlaces de la siguiente manera: $$ U_\mu^{'} (n) = \Omega (n) U_\mu (n) \Omega^{\dagger} (n + \mu) $$ Mediante una transformación gauge apropiada, cualquier configuración puede ser puesta en indicador temporal : $$ U_0 (n) = \mathbb{1} $$

Observando la acción de Wilson, se ve que los enlaces en diferentes retículas de tiempo se desacoplan entre sí, y tenemos cadenas de espín independientes de una dimensión, que pueden interpretarse como teoría de campo de (0 + 1) dimensiones en el espacio euclidiano.