Dejemos que $P$ sea el conjunto de todos los números primos. Es $\sin(P)$ denso es $[-1,1]?$ ¿Cómo podríamos abordar este problema?
Respuesta
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Según el Artículo de Wikipedia sobre la discrepancia de una secuencia :
La secuencia de todos los múltiplos de un irracional $\alpha$ por primos sucesivos números primos, $2 \alpha$ , $3 \alpha$ , $5 \alpha$ , $7 \alpha$ , $11 \alpha$ ... es equidistribuido módulo 1. Este es un famoso teorema de la teoría analítica de números analítica, demostrado por I. M. Vinogradov en 1935.
Con $\alpha = \frac{1}{2 \pi}$ Esto implica que $P$ está equidistribuido módulo $2 \pi$ . Utilizando esto, y la continuidad de la función seno, creo que es sencillo demostrar que $\sin(P)$ es denso en $[-1,1]$ (aunque no está equidistribuido).
