Límite inferior de una secuencia ${1, 3, 1, 5, 1, (n+1), ...}$

Question

Por qué en mi libro de matemáticas dicen que esta secuencia ${1, 3, 1, 5, 1, (n+1), ...}$ no tiene límite superior ni inferior. Creo que es obvio que tiene límite inferior. ¿O me equivoco?

Answer 1

Tienes razón. El límite inferior es $1$ . Es el más pequeño $L$ tal que la secuencia original tiene una sub-secuencia que converge a $L$ .

Answer 2

Sí, el libro está mal, el lim inf es claramente $1$ .

Por definición:

$$\liminf_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{m\geq n}x_m\Big)$$

o

$$\liminf_{n\to\infty}x_n := \sup_{n\geq 0}\,\inf_{m\geq n}x_m=\sup\{\,\inf\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$$

En su caso $\inf_{m\geq n}x_m = 1$ para cualquier $n>0$ .